Erweiterte Recollements von triangulierten und abelschen Kategorien

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Koenig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 340487543

Gegenstand dieses Antrags sind Recollements von triangulierten und von abelschen Kategorien. Triangulierte Recollements wurden von Beilinson, Bernstein und Deligne eingeführt, um triangulierte Kategorien in offene und abgeschloßene Teile zu zerlegen und zu analysieren, etwa mit Hilfe von Grothendiecks sechs Funktoren. Recollements können als kurze exakte Sequenzen drei triangulierter (zum Beispiel derivierter Modul-) Kategorien betrachtet werden und damit auch als weitreichende Verallgemeinerung der durch derivierte Äquivalenzen hergestellten Beziehungen zwischen zwei Algebren. Durch zusätzliche adjungierte Funktoren können Recollements zu Leitern erweitert werden; diese wurden von Beilinson, Ginzburg und Schechtman definiert, als axiomatische Grundlage zum Studium der Koszul-Dualität. Auch für abelsche Kategorien wurden Recollements eingeführt, die Erweiterung zu Leitern muss in diesem Fall aber auf andere Weise erfolgen, was in diesem Projekt geschehen soll. Ziele des Projekts sind eine Verbindung und Vereinheitlichung triangulierter und abelscher Techniken, eine Weiterentwicklung der Methode der Leitern und eine Vielfalt von inhärent miteinander verbundenen Anwendungen.Zu den gewünschten Anwendungen gehören:- Charakterisierung, Beschreibung und Konstruktion von in der algebraischen Lietheorie häufig auftauchenden Algebren (wie quasi-erblichen Algebren) und wichtiger Darstellungen (wie der charakteristischen Kippmoduln);- Herstellung einer Beziehung zwischen Leitern und Serre-Funktoren und damit Konstruktion solcher Funktoren;- vollständige Beschreibung aller Recollements selbstinjektiver (oder symmetrischer oder Frobenius-) Algebren und Einsatz dieser Beschreibung zur Klassifikation selbst-injektiver (oder symmetrischer oder Frobenius-) Algebren, die zellulär stratifiziert sind (wie Brauer-, BMW- oder Partitionenalgebren);- Klärung der Implikationen zwischen Gorenstein-Eigenschaft und Gültigkeit der (Fg)-Bedingung bei durch ein Recollement verbundenen Algebren und vergleichende Beschreibung von Trägervarietäten von Darstellungen und Komplexen unter Anwendung der Funktoren in einem Recollement.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen