Rein reelle Polynome, lineare Matrixungleichungen, freie Analoge und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Markus Schweighofer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 270148425

• Erstellungsjahr: 2020

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Lineare Programmierung ist in Wirtschaft und Technik heutzutage allgegenwärtig. Damit kann man eine lineare Zielfunktion unter Einhaltung von Bedingungen, welche durch lineare Ungleichungssysteme gegeben sind, effizient lösen. Die geometrischen Gebilde, die durch lineare Ungleichungssysteme definiert sind, heißen Polyeder. Diese sind immer „eckig und kantig“ begrenzt, was in vielen Anwendungen problematisch ist. Eine moderne Verallgemeinerung der linearen Optimierung, von der noch geklärt werden muss, wofür sie sich besonders gut eignet, ist die semidefinite Optimierung. Bei dieser können allgemeinere Bedingungen in Form einer linearen Matrixungleichung angeben werden, deren Lösungsmengen Spektraeder heißen. Diese können anders als Polyeder auch durch „runde Formen“ begrenzt sein, was in zahlreichen Anwendungen Vorteile bringt. In manchen Anwendungen, etwa in der Kontrolltheorie, will man sogar für die Variablen wieder Matrizen statt reeller zahlen einsetzen können, was zu den „freien Spektraedern“ und nichtkommutativen linearen Matrixungleichungen führt, für die sich ähnliche Fragen stellen, nämlich wie ausdrucksstark diese Matrixungleichungen sind und welche Art von geometrischen Objekten man mit ihnen beschreiben kann. Hier gibt es wieder verschiedene Varianten, zum Beispiel kann man eine große oder kleine Zahl von zusätzlichen Variablen bei der Beschreibung zulassen. In diesem Projekt aus der Grundlagenforschung haben wir mittels tiefer mathematischer Methoden Ergebnisse erzielt, die für die Zukunft wichtige Anhaltspunkte geben, welche geometrischen Gebilde man mit linearen Matrixungleichungen beschreiben kann. Wir haben darüber hinaus auch wichtiges Werkzeug für spätere Untersuchungen auf diesem oder verwandten Gebieten bereitgestellt. Die Ergebnisse sind in der jetzigen Form teilweise nur für andere Mathematiker direkt verwertbar, die unsere Arbeit fortführen, in Einzelfällen könnten sie aber auch jetzt schon von Ingenieuren benutzt werden, um Problem konkret mittels eines semidefiniten Optimierungsproblems zu modellieren und zu lösen. Es erwies sich als überraschend schwierig und zäh, die Theorie der Spektraeder besser mit der Theorie der freien Spektraeder zu verzahnen, weshalb die Forschungsstränge nach einiger Zeit zerfaserten. Auf jeder Faser konnten wir jedoch erhebliche Fortschritte erzielen. Während der Projektlaufzeit haben andere Forscher zwei wichtige Probleme, nämlich die Frage von Nemirovski und Connes’ Einbettungsproblem negativ entschieden, obwohl wir auf eine positive Lösung hinarbeiteten, was uns viel Zeit kostete. Ein drittes wichtiges Problem, die Verallgemeinerte Lax-Vermutung ist weiterhin unbeantwortet. Wir haben jedoch wichtige Ideen dazu entwickelt und führen die Arbeit daran jetzt andersweitig fort.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Noncommutative reproducing kernel Hilbert spaces, J. Funct. Anal. 271 (2016), no. 7, 1844–1920
  J.A. Ball, G. Marx, V. Vinnikov
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.06.010)
• On the exactness of Lasserre relaxations for compact convex basic closed semialgebraic sets, SIAM J. Optim. 28 (2018), no. 2, 1796–1816
  T.-L. Kriel, M. Schweighofer
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/17M1128290)
• Positive trace polynomials and the universal Procesi-Schacher conjecture, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 117 (2018), no. 6, 1101–1134
  I. Klep, Š. Špenko, J. Volcic
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1112/plms.12156)
• An introduction to matrix convex sets and free spectrahedra, Complex Anal. Oper. Theory 13 (2019), no. 7, 3251–3335
  T.-L. Kriel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s11785-019-00937-8)
• Dilations, linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta distributions, Mem. Amer. Math. Soc. 257 (2019), no. 1232
  J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1090/memo/1232)
• On the exactness of Lasserre relaxations and pure states over real closed fields, Found. Comput. Math. 19 (2019), no. 6, 1223–1263
  T.-L. Kriel, M. Schweighofer
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10208-018-9406-z)
• Stable noncommutative polynomials and their determinantal representations, SIAM J. Appl. Algebra Geom. 3 (2019), no. 1, 152–171
  J. Volcic
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/18M1206734)
• Factorization of noncommutative polynomials and Nullstellensätze for the free algebra, Int. Math. Res. Not. (2020)
  J.W. Helton, I. Klep, J. Volcic
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa122)
• Generalized eigenvalue methods for Gaussian quadrature rules, Ann. H. Lebesgue
  G. Blekherman, M. Kummer, C. Riener, M. Schweighofer, C. Vinzant
  (Siehe online unter https://doi.org/10.5802/ahl.62)
• Local theory of free noncommutative functions: germs, meromorphic functions, and Hermite interpolation, Trans. Amer. Math. Soc. 373 (2020), no. 8, 5587–5625
  I. Klep, V. Vinnikov, J. Volcic
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1090/tran/8076)
• Multipartite rational functions, Doc. Math. 25 (2020) 1285–1313
  I. Klep, V. Vinnikov, J. Volcic
  (Siehe online unter https://doi.org/10.25537/dm.2020v25.1285-1313)
• Noncommutative Polynomials Describing Convex Sets, Found. Comput. Math. (2020)
  J.W. Helton, I. Klep, J. Volcic
  
• Realizations of non-commutative rational functions around a matrix centre, II: The lost-abbey conditions
  M. Porat, V. Vinnikov
  
• Spectrahedral relaxations of hyperbolicity cones
  M. Schweighofer
  
• Realizations of non-commutative rational functions around a matrix centre, I: synthesis, minimal realizations and evaluation on stably finite algebras
  M. Porat, V. Vinnikov