Rein reelle Polynome, lineare Matrixungleichungen, freie Analoge und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Markus Schweighofer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 270148425

Semidefinite Optimierung stellt schnelle Algorithmen bereit, um affin-lineare Funktionen unter Nebenbedingungen zu minimieren, die durch eine lineare Matrixungleichung gegeben sind. Dies führt zu mehreren mathematischen Fragen: Welche Mengen kann man durch eine lineare Matrixungleichung beschreiben? Welche Mengen sind Projektionen letzterer? Diese Fragen liegen im Grenzbereich zwischen algebraischer Geometrie, reeller algebraische Geometrie und Konvexität; sie führen zu einer Klasse Polynomen, die wir "`rein reell"' nennen (besser geläufig unter den Bezeichnungen "real zero polynomials" im Englischen oder "hyperbolische Polynome" im homogenen/projektiven Kontext). Die Frage, welche Mengen durch eine lineare Matrixungleichung beschreibbar sind, wurde nur in Dimension 2 gelöst, und selbst dort ist man noch weit von einem vollständigen Verständnis entfernt. Eine Zielsetzung des hier vorgeschlagenen Projekts ist es, dieses Problem in Dimension 2 weiter zu untersuchen und die höherdimensionale Situation in Angriff zu nehmen. Dabei gibt es Zusammenhänge mit der kürzlich bewiesenen BMV-Vermutung aus der statistischen Quantenmechanik, und Anwendungen auf eines der interessantesten Probleme in der Theorie der Operatoralgebren - Connes' Einbettungsproblem. Andererseits betrachten wir auch lineare Matrixungleichungen im freien nichtkommutativen Rahmen, wo man für die Variablen Tupel von reellen symmetrischen Matrizen aller Größen einsetzt. Dies ist ein natürlicher Kontext für die meisten Optimierungsprobleme, die in der System- und Kontrolltheorie auftauchen, da diese meist dimensionsunabhängig sind, das heißt die Variablen stehen in natürlicher Weise für Matrizen und die Probleme beinhalten rationale Ausdrücke in diesen Matrizen, die unabhängig von der Matrizengröße dieselbe Form annehmen. Dies fügt sich auch in ein allgemeines Paradigma des Übergangs von einem kommutativen zu einem freien nichtkommutativen Rahmen ein, wie es sich in den letzten zwei Jahrzehnten in so verschiedenen Bereichen wie der Operatorraumtheorie und der freien Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt hat. Wir wollen die freie nichtkommutative Situation hier ausführlich untersuchen. Da sie mehr Struktur bietet als im kommutativen Fall und damit stärkere Aussagen erlaubt, hoffen wir wir schließlich damit auch einige kommutative Probleme über ein Hochheben in den nichtkommutativen Fall angehen zu gehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• ausländischer Mitantragsteller: Professor Dr. Victor Vinnikov