TRR 109:  Diskretisierung in Geometrie und Dynamik

Fachliche Zuordnung Mathematik
Informatik, System- und Elektrotechnik
Förderung Förderung von 2012 bis 2024
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 195170736
 

Projektbeschreibung

Das zentrale Anliegen des SFB/Transregio 109 ist die Forschung auf dem Gebiet der Diskretisierung von Differentialgeometrie und Dynamik. In beiden mathematischen Gebieten werden die betrachteten Schlüsselobjekte durch Differentialgleichungen beschrieben. Der Begriff „Diskretisierung“ bezieht sich generell auf jedes Prozedere, das eine Differentialgleichung in eine Differenzengleichung mit einer nur endlichen Anzahl von Variablen umwandelt, deren Lösungen sich denen der Differentialgleichung annähern.In der Dynamik wurde es offensichtlich, dass der Erhalt lokal hochakkurater Annäherungen nicht ausreicht, wenn man sich für das globale, qualitativ langfristige Verhalten eines dynamischen Systems interessiert. Ein gutes Diskretisierungs-Schema sollte deshalb wichtige qualitative Aspekte des kontinuierlichen Systems erhalten. Wenn beispielsweise im kontinuierlichen System die Energie erhalten bleibt, sollte auch das diskretisierte System eine Art von Energie-Konservierung aufweisen. Da die moderne Theorie dynamischer Systeme in der Sprache der Geometrie verfasst ist, wird das Teilgebiet, das sich mit strukturerhaltenden Diskretisierungen beschäftigt, geometrische Integration genannt.Auch in der Differentialgeometrie erwiesen sich strukturerhaltende Diskretisierungen als nützlich. Für viele spezielle Klassen von Flächen (wie z.B. Minimalflächen oder Flächen mit konstanter Gauss’scher Krümmung) sind z.B. strukturerhaltende Diskretisierungen bekannt. Diese Typen diskreter Flächen sind polyedrische Flächen mit speziellen Eigenschaften, die elementar geometrisch beschrieben werden können. Dennoch zeigen sie dasselbe qualitative Verhalten wie kontinuierliche Flächen, welche von nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen definiert werden.Der gemeinsame Nenner hinter diesen Entwicklungen in Geometrie und Dynamik ist es, diskrete Modelle zu finden und zu untersuchen, die Eigenschaften und Strukturen aufweisen, die charakteristisch für die korrespondierenden glatten geometrischen Objekte und dynamischen Prozesse sind. Wenn wir die diskreten Modelle verfeinern, sollten sie sich natürlich in ihrem Limes den konventionellen Beschreibungen mittels Differentialgleichungen annähern, aber zusätzlich sollten die wichtigen, charakteristischen, qualitativen Eigenschaften bereits auf dem diskreten Niveau erhalten bleiben. Die resultierende Diskretisierung sollte eine fundamentale mathematische Theorie bilden, welche die klassische Theorie im kontinuierlichen Limes liefert.Der SFB/Transregio bringt Wissenschaftler/innen zusammen, die ihre Kräfte vereint haben, um die vielfältigen Probleme zu lösen, die sich bei der Herausforderung stellen, Geometrie und Dynamik zu diskretisieren.
DFG-Verfahren Transregios
Internationaler Bezug Österreich, Saudi-Arabien

Abgeschlossene Projekte

Antragstellende Institution Technische Universität Berlin
Mitantragstellende Institution Technische Universität München (TUM)
Beteiligte Hochschule Freie Universität Berlin; Humboldt-Universität zu Berlin; King Abdullah University of Science and Technology (KAUST); Technische Universität Wien; Universität Potsdam
Beteiligte Institution Institute of Science and Technology Austria
Sprecher Professor Dr. Alexander I. Bobenko