TRR 109:
Diskretisierung in Geometrie und Dynamik
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Informatik, System- und Elektrotechnik
Förderung
Förderung von 2012 bis 2024
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 195170736
Das zentrale Anliegen des SFB/Transregio 109 ist die Forschung auf dem Gebiet der Diskretisierung von Differentialgeometrie und Dynamik. In beiden mathematischen Gebieten werden die betrachteten Schlüsselobjekte durch Differentialgleichungen beschrieben. Der Begriff „Diskretisierung“ bezieht sich generell auf jedes Prozedere, das eine Differentialgleichung in eine Differenzengleichung mit einer nur endlichen Anzahl von Variablen umwandelt, deren Lösungen sich denen der Differentialgleichung annähern.In der Dynamik wurde es offensichtlich, dass der Erhalt lokal hochakkurater Annäherungen nicht ausreicht, wenn man sich für das globale, qualitativ langfristige Verhalten eines dynamischen Systems interessiert. Ein gutes Diskretisierungs-Schema sollte deshalb wichtige qualitative Aspekte des kontinuierlichen Systems erhalten. Wenn beispielsweise im kontinuierlichen System die Energie erhalten bleibt, sollte auch das diskretisierte System eine Art von Energie-Konservierung aufweisen. Da die moderne Theorie dynamischer Systeme in der Sprache der Geometrie verfasst ist, wird das Teilgebiet, das sich mit strukturerhaltenden Diskretisierungen beschäftigt, geometrische Integration genannt.Auch in der Differentialgeometrie erwiesen sich strukturerhaltende Diskretisierungen als nützlich. Für viele spezielle Klassen von Flächen (wie z.B. Minimalflächen oder Flächen mit konstanter Gauss’scher Krümmung) sind z.B. strukturerhaltende Diskretisierungen bekannt. Diese Typen diskreter Flächen sind polyedrische Flächen mit speziellen Eigenschaften, die elementar geometrisch beschrieben werden können. Dennoch zeigen sie dasselbe qualitative Verhalten wie kontinuierliche Flächen, welche von nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen definiert werden.Der gemeinsame Nenner hinter diesen Entwicklungen in Geometrie und Dynamik ist es, diskrete Modelle zu finden und zu untersuchen, die Eigenschaften und Strukturen aufweisen, die charakteristisch für die korrespondierenden glatten geometrischen Objekte und dynamischen Prozesse sind. Wenn wir die diskreten Modelle verfeinern, sollten sie sich natürlich in ihrem Limes den konventionellen Beschreibungen mittels Differentialgleichungen annähern, aber zusätzlich sollten die wichtigen, charakteristischen, qualitativen Eigenschaften bereits auf dem diskreten Niveau erhalten bleiben. Die resultierende Diskretisierung sollte eine fundamentale mathematische Theorie bilden, welche die klassische Theorie im kontinuierlichen Limes liefert.Der SFB/Transregio bringt Wissenschaftler/innen zusammen, die ihre Kräfte vereint haben, um die vielfältigen Probleme zu lösen, die sich bei der Herausforderung stellen, Geometrie und Dynamik zu diskretisieren.
DFG-Verfahren
Transregios
Internationaler Bezug
Österreich, Saudi-Arabien
Abgeschlossene Projekte
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A01 - Diskrete Riemannsche Flächen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Bücking, Ulrike
;
Springborn, Boris
)
-
A02 - Diskrete parametrisierte Oberflächen
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Hoffmann, Tim N.
;
Ziegler, Günter M.
)
-
A03 - Geometrische Randbedingungen für Polytope
(Teilprojektleiter
Lange, Carsten
;
Richter-Gebert, Jürgen
;
Sanyal, Raman
;
Ziegler, Günter M.
)
-
A04 - Die Integration von diskreten Geometrien und Finite-Elemente-Methoden
(Teilprojektleiter
Bornemann, Folkmar
;
Polthier, Konrad
)
-
A05 - Konforme Deformationen diskreter Flächen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Diamanti, Olga
;
Pinkall, Ulrich
)
-
A07 - Diskrete Morse-Theorie
(Teilprojektleiter
Rote, Günter
)
-
A08 - Diskrete geometrische Strukturen, die durch Anwendungen in der Architektur motiviert sind
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Pottmann, Helmut
)
-
A10 - Lernen von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mittels Shearlet Approximationen
(Teilprojektleiterin
Kutyniok, Gitta
)
-
A11 - Sekundärfächer Riemannscher Flächen
(Teilprojektleiter
Joswig, Michael
;
Springborn, Boris
)
-
A12 - Ropelength für periodische Verschlingungen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Evans, Myfanwy E.
;
Sullivan, Ph.D., John M.
)
-
A13 - Geometrie-getriebene Selbstassemblage von Proteinen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Evans, Myfanwy E.
;
Friesecke, Gero
)
-
B01 - Komplexifizierung diskreter Zeitschritte
(Teilprojektleiter
Richter-Gebert, Jürgen
)
-
B02 - Diskrete multidimensionale integrable Systeme
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Suris, Yuri B.
)
-
B03 - Numerische Behandlung von Riemann-Hilbert Problemen und Operator Determinanten
(Teilprojektleiter
Bornemann, Folkmar
)
-
B04 - Diskretisierung als Störung: Qualitative und quantitative Aspekte
(Teilprojektleiter
Scheurle, Jürgen
;
Suris, Yuri B.
)
-
B06 - Potential-Energieflächen
(Teilprojektleiterin
Lasser, Caroline
)
-
B07 - Lagrangesche Multiformen und multisymplektische diskrete Systeme
(Teilprojektleiter
Petrera, Matteo
;
Suris, Yuri B.
)
-
B08 - Wigner-Kristallisation
(Teilprojektleiter
Cicalese, Marco
;
Friesecke, Gero
)
-
B09 - Strukturerhaltende Diskretisierung von Gradientenflüssen
(Teilprojektleiter
Junge, Oliver
;
Matthes, Daniel
)
-
B10 - Geometrische Desingularisierung von nicht-hyperbolischen Gleichgewichten iterierter Abbildungen
(Teilprojektleiter
Kühn, Ph.D., Christian
;
Suris, Yuri B.
)
-
B11 - Geometrische Rigidität in Spinsystemen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Cicalese, Marco
;
Zwicknagl, Barbara
)
-
B12 - Vergröberte kohomologische Modelle für dynamische Systeme
(Teilprojektleiter
Bauer, Ulrich Alexander
;
Junge, Oliver
)
-
C00 - Interaktive Werkzeuge für Forschung und Visualisierung
(Teilprojektleiter
Hoffmann, Tim N.
;
Pinkall, Ulrich
;
Richter-Gebert, Jürgen
;
Sullivan, Ph.D., John M.
)
-
C01 - Diskrete geometrische Strukturen motiviert durch Anwendungen und Architektur
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Müller, Christian
;
Pottmann, Helmut
;
Wallner, Johannes
)
-
C02 - Digitale Darstellungen von Daten auf Mannigfaltigkeiten
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Krahmer, Ph.D., Felix
;
Kutyniok, Gitta
)
-
C03 - Shearlet Approximation und Simulation von Bruchstellenentwicklungen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Fornasier, Massimo
;
Kutyniok, Gitta
)
-
C04 - Persistenz und Stabilität geometrischer Komplexe
(Teilprojektleiter
Bauer, Ulrich Alexander
;
Edelsbrunner, Herbert
)
-
C05 - Numerische und strukturelle Aspekte mehrskaliger Forminterpolation
(Teilprojektleiter
Cremers, Daniel
;
Polthier, Konrad
)
-
C07 - Diskretisierung von Flüssigkeiten in Wirbellinien und Wirbelflächen
(Teilprojektleiter
Pinkall, Ulrich
;
Thuerey, Nils
)
-
C09 - Deep learning für die Rekonstruktion geometrischer Formen
(Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter
Cremers, Daniel
;
Kutyniok, Gitta
)
-
CaPÖPR - Kommunikation und Präsentation
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Richter-Gebert, Jürgen
;
Ziegler, Günter M.
)
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IIINF - Informationsinfrastruktur
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
;
Joswig, Michael
)
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Z01 - Zentrale Aufgaben des Sonderforschungsbereichs
(Teilprojektleiter
Bobenko, Alexander I.
)
-
Z02 - Internet basierte Mathematikvisualisierung
(Teilprojektleiter
Richter-Gebert, Jürgen
)