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Projekt
GRK 1150: Homotopie und Kohomologie
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2005 bis 2014
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 796242
Die Topologie verbindet, wie wenige andere Gebiete der Mathematik, die Bereiche des Kontinuierlichen, also die Geometrie und die Analysis, mit dem Bereich des Diskreten, also die Algebra und die Kombinatorik. Ihre Gegenstände sind aus dem ersten Bereich, ihre Methoden aus dem zweiten. Da sie Anregungen aus vielen Gebieten der Mathematik aufnimmt und ihre Methoden wiederum weit in andere Gebiete reichen, hat sie die Entwicklung der Mathematik nach strukturellen Gesichtspunkten entscheidend mitgeprägt.
Die Gegenstände der Topologie sind geometrische Objekte, wie zum Beispiel Mannigfaltigkeiten, sowie die stetigen Abbildungen zwischen ihnen. Die typischen Fragen sind die nach der Existenz solcher Objekte mit gewissen Eigenschaften (zum Beispiel Überlagerungen einer Mannigfaltigkeit) und nach deren Anzahl oder - besser gesagt - nach einer Klassifikation solcher Objekte und der stetigen Abbildung zwischen ihnen. Bei vielen Eigenschaften stellt sich heraus, dass man die Objekte und deren Abbildungen nur bis auf Deformationen (das heißt Homotopie) betrachten muss, weil die Eigenschaft bei einer Deformation von Objekt oder Abbildung invariant ist (zum Beispiel, dass der Abbildungsgrad nicht verschwindet).
Kerngedanke der Homotopietheorie ist es, bei möglichst vielen Eigenschaften diese Homotopieinvarianz nachzuweisen und eine Klassifikation zu erreichen. Die dazu notwendigen Berechnungen von Homotopieklassen, zum Beispiel die unstabilen oder stabilen Homotopiegruppen, sind auf direktem Wege oft zu schwierig. Erfolgreicher ist der Umweg über die Kohomologie, das heißt den Einsatz der klassischen singulären und der verallgemeinerten Kohomologietheorien, ihrer Ringstruktur und ihrer Kohomologie-Operationen.
In den letzten Jahren sind im Bereich der Homotopietheorie viel versprechende Neuentwicklungen in Gang gekommen, welche die Homotopietheorie noch stärker mit der Algebra, der Algebraischen Geometrie und der Theoretischen Physik verbinden; insbesondere sind das die stabile Homotopietheorie und die elliptische Kohomologie. In dem Graduiertenkolleg sollen diese neuen Theorien und Methoden in Dissertationsprojekten bearbeitet werden.
Die Gegenstände der Topologie sind geometrische Objekte, wie zum Beispiel Mannigfaltigkeiten, sowie die stetigen Abbildungen zwischen ihnen. Die typischen Fragen sind die nach der Existenz solcher Objekte mit gewissen Eigenschaften (zum Beispiel Überlagerungen einer Mannigfaltigkeit) und nach deren Anzahl oder - besser gesagt - nach einer Klassifikation solcher Objekte und der stetigen Abbildung zwischen ihnen. Bei vielen Eigenschaften stellt sich heraus, dass man die Objekte und deren Abbildungen nur bis auf Deformationen (das heißt Homotopie) betrachten muss, weil die Eigenschaft bei einer Deformation von Objekt oder Abbildung invariant ist (zum Beispiel, dass der Abbildungsgrad nicht verschwindet).
Kerngedanke der Homotopietheorie ist es, bei möglichst vielen Eigenschaften diese Homotopieinvarianz nachzuweisen und eine Klassifikation zu erreichen. Die dazu notwendigen Berechnungen von Homotopieklassen, zum Beispiel die unstabilen oder stabilen Homotopiegruppen, sind auf direktem Wege oft zu schwierig. Erfolgreicher ist der Umweg über die Kohomologie, das heißt den Einsatz der klassischen singulären und der verallgemeinerten Kohomologietheorien, ihrer Ringstruktur und ihrer Kohomologie-Operationen.
In den letzten Jahren sind im Bereich der Homotopietheorie viel versprechende Neuentwicklungen in Gang gekommen, welche die Homotopietheorie noch stärker mit der Algebra, der Algebraischen Geometrie und der Theoretischen Physik verbinden; insbesondere sind das die stabile Homotopietheorie und die elliptische Kohomologie. In dem Graduiertenkolleg sollen diese neuen Theorien und Methoden in Dissertationsprojekten bearbeitet werden.
DFG-Verfahren
Graduiertenkollegs
Antragstellende Institution
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Mitantragstellende Institution
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf; Ruhr-Universität Bochum
beteiligte Wissenschaftlerinnen / beteiligte Wissenschaftler
Professor Dr. Gerd Laures; Professor Dr. Holger Reich; Professor Dr. Stefan Schwede; Professor Dr. Wilhelm Singhof; Professorin Dr. Catharina Stroppel; Professor Dr. Peter Teichner
Sprecher
Professor Dr. Carl-Friedrich Bödigheimer, seit 10/2009
