Die Gerstenvermutung und algebraische Zykel in gemischter Charakteristik

• Antragsteller: Dr. Morten Lüders
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 557768455

Das Ziel unseres Projektes ist es, die lokale und globale Struktur algebraischer Varietäten, d.h. Räumen, welche in der algebraischen und arithmetischen Geometrie betrachtet werden, mit Hilfe der folgenden drei Methoden zu studieren und diese gleichzeitig weiter zu entwickeln: (1) Die Gerstenauflösung erlaubt die lokale Analyse von Invarianten, wie zum Beispiel Milnor K-Theorie, durch ihre Einschränkung auf Unterräume, welche den Raum lokal aufspannen. Eine solche Auflösung existiert für viele Invarianten glatter Varietät in gleicher Charakteristik. Wir möchten die Existenz solcher Auflösungen für weitere Fälle zeigen, zum Beispiel für die K-Theorie von Bewertungsringen, relative Milnor K-Theorie und Milnor-Witt K-Theorie in der für die Zahlentheorie wichtigen gemischten Charakteristik, d.h. grob gesprochen im Falle der gleichzeitigen Betrachtung mehrerer Primzahlen. (2) Für die globale Analyse einer Varietät eignen sich Chowgruppen. Diese klassifizieren die Unterräume einer Varietät bis auf Deformation. Die Verallgemeinerung zu sogenannten höheren Chowgruppen kann mit motivischer Kohomologie, dem Motiv hinter jeder Invariante, auch Kohomologietheorie genannt, identifiziert werden. Insbesondere existieren in der Regel Abbildungen, genannt Zykelklassenabbildungen, von Chowgruppen in andere Kohomologietheorien. Wir streben in unserem Projekt vor allem das Studium von Chowgruppen und Chowgruppen mit Orientierung in diversen Graden in Familien von Varietäten über diskreten Bewertungsringen an. Für die Restriktion von Chowgruppen auf eine spezielle Faser einer solchen Familie benötigt man oft die Gerstenauflösung, welche wir zuerst entwickeln. Diese Methode ermöglicht es unter anderem, starke Strukturaussagen für Chowgruppen über lokalen Körpern zu beweisen. Lokale Körper sind Vervollständigungen der ganzen Zahlen an einer Primzahl, analog zu den reellen Zahlen, sind gemischter Charakteristik und essentiell für ein Verständnis der ganzen Zahlen in der arithmetischen Geometrie. Ein weiteres Ziel des Projektes ist es, die Verbindung zwischen der Gerstenvermutung und Chowgruppen mithilfe von Deformationstheorie, kürzlich von Schreieder auf den Weg gebracht, weiter zu entwickeln. (3) Die Zykelklassenabbildung von Chowgruppen in syntomische Kohomologie ist ein weiteres Mittel zum Studium von Chowgruppen. In der Entwicklung syntomischer Kohomologie hat es in den letzten Jahren große Fortschritte durch eine grundlegende Neuformulierung durch Bhatt-Morrow-Scholze gegeben. Wir möchten Eigenschaften wie zum Beispiel Reinheit und Dualität, welche für ältere Varianten syntomischer Kohomologie gelten, in größter Allgemeinheit für die genannte Neuformulierung beweisen und somit die Definition und das Studium der Zykelklassenabbildung für eine größere Klasse von Räumen als bisher ermöglichen. Unter ähnlichen Gesichtspunken beabsichtigen wir, die kürzlich von uns definierten zahmen p-adischen Tate twists zu studieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen