Von der Berechenbaren Analysis zur Berechenbaren Algebraischen Topologie

• Antragsteller: Professor Dr. Vasco Brattka
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Theoretische Informatik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554999067

Zweck dieses Projekts ist die Entwicklung von einigen Aspekten der Berechenbaren Algebraischen Topologie im Rahmen der Berechenbaren Analysis. In der Berechenbaren Analysis werden Berechenbarkeitsfragen innerhalb der Analysis untersucht. Eine typische Frage ist zum Beispiel, ob jede berechenbare Abbildung der Einheitskugel im Euklidischen Raum auf sich selbst einen berechenbaren Fixpunkt hat. Resultate dieser Art werden am natürlichsten mit Hilfe von Algebraischer Topologie bewiesen, ähnlich wie die klassichen Versionen der zugrundeliegenden Sätze. Allerdings gibt es bisher keine systematische Untersuchung von Berechenbarkeitsfragen in der Algebraischen Topologie. Wir beabsichtigen eine solche Untersuchung mit Blick auf Anwendungen in der Berechenbaren Analysis zu beginnen. Dies erfordert zunächst zu verstehen, welche topologischen Räume in diesem Kontext behandelt werden können. Außerdem sollen grundlegende Konstruktionen aus der Algebraischen Topologie, wie etwa die der Fundamentalgruppe oder allgemeiner der Homotopie- und Homologie-Gruppen aus berechenbarkeitstheoretischer Sicht untersucht werden. Ein weiteres interessantes Beispiel mit wichtigen Anwendungen ist die Berechnung der Windungszahl einer Kurve. In einem weiteren Teilprojekt soll der berechenbare Gehalt von Sätzen aus der Algebraischen Topologie untersucht werden. Dabei sollen einerseits klassische Sätze aus der algebraischen Topologie, wie der Satz von Seifert-van Kampen, untersucht werden. Dieser ist möglicherweise bei der Berechnung von Homotopie-Gruppen hilfreich. Andererseits sollen Sätze betrachtet werden, die mit Hilfe von algebraischer Topologie bewiesen werden können, wie etwa Fixpunktsätze. Schließlich sollen noch Fragen der berechenbaren Kategorientheorie und der Algebra, die dabei auf natürliche Weise auftauchen, mit betrachtet werden. Dieses Projekt gehört in den Bereich der Mathematischen Logik und ihrem Teilgebiet der Berechenbarkeitstheorie, insbesondere in den Bereich der Berechenbaren Analysis.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen