Geometrische Strukturen mithilfe von Kreismustern

• Antragsteller: Dr. Carl Lutz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554919336

Das Ziel dieses Projekts besteht darin, die Struktur des Raums der Kreismuster und seine Beziehung zu hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten, dem klassischen (glatten) Begriff der Konformität und der mathematischen Physik zu untersuchen. Ein wesentliches Merkmal konformer Abbildungen ist ihre Fähigkeit, infinitesimale Kreise zu erhalten. Betrachtet man Muster von Kreisen mit positivem Radius, so erhält man ein diskretes Modell der Konformität, welches zahlreiche Eigenschaften und strukturelle Merkmale mit seinem glatten Gegenstück teilt. Dieser Ansatz hat sich für Flächen, die lokal auf einer metrischen Geometrie (z.B. euklidische Geometrie) modelliert sind, als sehr effektiv erwiesen. Das Konzept eines Kreises und damit eines Kreismusters ist jedoch auch im weiteren Kontext komplexer projektiver Strukturen sinnvoll. Dies bietet die reizvolle Möglichkeit, komplexe projektive Strukturen mithilfe von Kreismustern zu untersuchen. Insbesondere wird vermutet, dass der Raum komplexer projektiver Strukturen, auf denen ein bestimmtes Kreismuster realisiert werden kann, ein Schnitt durch die Faserung des Raums komplexer projektiver Strukturen über dem Teichmüller-Raum ist. Dieses Projekt zielt darauf ab, diese Phänomene genauer zu untersuchen. Eine grundlegende Eigenschaft von Kreismustern ist ihre enge Beziehung zu Polyedern im hyperbolischen dreidimensionalen Raum. Dies führt dazu, dass sich Realisierungsprobleme für Kreismuster als Cauchy- und Alexandrov-Realisierungsprobleme für Polyeder darstellen lassen. Im ersten Fall ist das Ziel die Konstruktion eines Polyeders mit vorgegebenen Flächenwinkeln, während im zweiten Fall die Metrik am Rand vorgegeben ist. Zu den einflussreichsten klassischen Resultaten der Funktionentheorie zählt der riemannsche Abbildungssatz. Der Satz besagt, dass jedes einfach zusammenhängende echte Teilgebiet der komplexen Ebene konform auf die offene Einheitskreisscheibe abgebildet werden kann. Koebe erweiterte dieses Ergebnis auf mehrfach zusammenhängende Gebiete. Diskrete Versionen des riemannschen Abbildungssatzes sind bekannt. Im Rahmen dieses Projektes soll die Möglichkeit der Erweiterung dieser Ergebnisse auf mehrfach zusammenhängende diskrete Gebiete untersucht werden. Diese Frage entspricht einem Alexandrov-Problem, bei dem die Randmetrik bestimmte Reflexionssymmetrien besitzt. In den vergangenen Jahren hat sich die Verwendung von Kreismustern in der statistischen Mechanik als ein vielversprechender Ansatz erwiesen, um die Parameter eines statistischen Modells mit der Geometrie des zugrunde liegenden Graphen in Beziehung zu setzen. Aus diesem Grund eröffnet das vorgeschlagene Projekt die spannende Möglichkeit, die Beziehungen zwischen statistischer Mechanik und der Geometrie des hyperbolischen Raums mithilfe von Kreismustern zu untersuchen. Es ist interessant zu untersuchen, wie beide Bereiche voneinander profitieren können.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Luxemburg
• Gastgeber: Professor Dr. Jean-Marc Schlenker