Darstellungstheorie von Vertex Superalgebren und W-algebren

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Creutzig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 551865932

Darstellungskategorien von Vertex Algebren sind eine Hauptquelle von nicht halbeinfachen Schleifenkategorien. Diese Kategorien sind nötig für die Konstruktion nicht halbeinfacher topologischer Feldtheorien und sie treten als Kategorien von Linienoperatoren in höher dimensionalen supersymmetrischen Quantenfeldtheorien auf. Aktuell sind nur wenige solche Darstellungskategorien verstanden und mein Forschungsziel ist es die Situation substantiell zu verbessern. Die Darstellungstheorie von quasi Hopf Algebren ist in vielerlei Hinsicht klarer und ein wesentliches Ziel sind Äquivalenzen zwischen Kategorien von Vertex Algebren und quasi Hopf Algebren (wie z.B. Quantensupergruppen). Im ersten Teilprojekt sollen strukturelle Resultate bzgl. Starrheit und der Verlindeformel für Vertextensorkategorien erzielt werden. Diese Resultate sind wichtig für die folgenden Teilprojekte. Aufbauend auf dem ersten Projekt soll im zweiten Projekt die Theorie von Kazhdan-Lusztig Korrespondenzen weiterentwickelt werden. Das Ziel ist eine effektive Theorie um zu zeigen, dass gewisse Vertextensorkategorien zu Kategorien von Darstellungen von korrespondierenden quasi Hopfalgebren equivalent sind. In den letzten drei Projekten wird die Theorie der ersten beiden Projekte angewandt. Zuerst wird die Kategorie der Gewichtsmoduln der universellen affinen Vertexalgebra von sl(2) studiert, insbesondere ihre Korrespondenz zu einer Modifikation einer Quantensupergruppe vom Typ sl(2|1). Danach werden ähnliche Resultate für unterreguläre W-algebra gezeigt, d.h. Gewichtsmoduln werden klassifiziert, Existenz einer starren Vertex Tensorkategoriestruktur und Korrespondenzen zu Modifikationen von gewissen Quantensupergruppen werden gezeigt. Schlussendlich werden Kazhdan-Lusztig Korrespondenzen für affine Vertex Superalgebren vom Typ I etabliert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen