Multilevelverfahren für heterogene räumliche Netzwerke

• Antragsteller: Dr. Moritz Hauck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549356871

Dieses Projekt beschäftigt sich mit Multilevelverfahren zur effizienten Simulation heterogener räumlicher Netzwerkmodelle. Diese sind ein beliebtes Mittel zur vereinfachten diskreten Beschreibung komplexer geometrischer Strukturen und werden z.B. in der Modellierung poröser Medien oder faserbasierter Materialien angewendet. Aufgrund ihrer komplexen Geometrie und der zum Teil stark variierenden Faserlängen und -dicken weisen räumliche Netzwerke typischerweise starke Heterogenitäten auf. Sie sind daher mit Standardverfahren, die alle Skalen global auflösen, schwer handzuhaben. Einen möglichen Ausweg bieten Gebietszerlegungsverfahren oder Multiskalenverfahren, die eine Lokalisierung durchführen und die resultierenden lokalen Informationen in ein zwei- oder mehrstufiges Verfahren integrieren. Im Kontext heutiger massiv paralleler Rechenressourcen ist der limitierende Faktor zweistufiger Verfahren typischerweise die Lösung des groben Gleichungssystems. Ziel dieses Projekts ist daher die Entwicklung und Analyse von Multilevelverfahren für räumliche Netzwerkmodelle, die diese Limitierung überwinden. Ein Eckpfeiler wird dabei ein neuer theoretischer Ansatz sein, der es erlaubt, wichtige aus dem kontinuierlichen Fall bekannte Resultate, wie z.B. die Poincaré Ungleichung, auf hinreichend groben Skalen auf räumliche Netzwerke zu übertragen. In diesem Projekt wollen wir zwei verschiedene Multilevelverfahren für heterogene räumliche Netzwerkmodelle entwickeln. Das Erste ist ein Multigrid-artiges Verfahren, das speziell auf räumliche Netzwerke zugeschnitten ist. Es kombiniert Strategien aus geometrischen und algebraischen Multigridverfahren und verwendet einen Glätter der auf Gebietszerlegungstechniken basiert um Skalenunterschiede zu überbrücken. Auf diese Weise wollen wir ein effizientes Verfahren mit geringen Setupkosten konstruieren. Das zweite Multilevelverfahren zielt auf besonders starke Heterogenitäten ab und verwendet Techniken, die aus Multiskalenverfahren bekannt sind. Es basiert auf problemangepassten Grobräumen, die durch die Lösung spektraler Probleme im Raum lokal operatorharmonischer Funktionen konstruiert werden. Durch die Verwendung solcher Grobräume wollen wir ein Verfahren mit guten Robustheitseigenschaften konstruieren, allerdings zu höheren Setupkosten. Mithilfe des oben genannten theoretischen Ansatzes für räumliche Netzwerke wollen wir eine rigorose Konvergenzanalyse beider Multilevelverfahren durchführen. Besonderes Augenmerk wird dabei auf die Abhängigkeit der Konstanten von der Levelanzahl und die Wahl der Grobräume gelegt. Die Zielanwendung für die praktische Evaluierung der beiden Multilevelverfahren ist eine biologische Anwendung, die sich mit der Simulation von Stressfasern in Zellen befasst, die für die Zellmechanik von entscheidender Bedeutung sind. Diese Anwendung ist motiviert durch eine laufende interdisziplinäre Forschungskooperation an der Universität Heidelberg, der Gastinstitution für dieses Projekt.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle