Konvergenzgeschwindigkeiten und Rückwärtstrajektorien für Ein-Parameter-Halbgruppen holomorpher Funktionen

• Antragstellerin: Dr. Maria Kourou
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545293643

Der Untersuchungsgegenstand dieses Projekts sind Ein-Parameter Halbgruppen von holomorphen Funktionen. Solche Halbgruppen werden aktuell in der Komplexen Analysis intensiv beforscht. In den letzten Jahren wurde eine Vielzahl von neuen Ergebnissen erzielt, insbesondere für die Einheitskreisscheibe und für Funktionen mehrerer komplexen Variablen. Wir fokussieren unsere Untersuchung auf das asymptotische Verhalten solcher Halbgruppen und deren Konvergenzraten. Im Falle von Halbgruppen in der Einheitskreisscheibe, liegt der Schwerpunkt unserer Forschung auf dem Verhalten des dynamischen Systems für negative Zeiten (Rückwärtsdynamik). Das erste konkrete Problem betrifft das asymptotische Verhalten und die Monotonie der Konvergenzgeschwindigkeiten entlang Rückwärtstrajektorien einer Halbgruppe. Außerdem untersuchen wir das quantitative Verhalten der Rückwärtsgeschwindigkeiten entlang nicht-regulärer Trajektorien. Weitere Ziele beziehen sich auf Trajektorien von kompakten Mengen in der Einheitskreisscheibe unter Halbgruppen holomorpher Funktionen. Wir untersuchen die Abstände zwischen Bewegungen kompakter Mengen im Sinne der Potentialtheorie und insbesondere der extremen Länge. Für dieses Problem arbeiten wir sowohl mit der Vorwärts- als auch mit der Rückwärtsdynamik einer Halbgruppe und untersuchen alle möglichen, relativen Positionen solcher Kompakta. Zusätzlich geben wir Beispiele für solche Abstände. Mit Hilfe der Monotonie von Rückwärtsgeschwindigkeiten dehnen wir unsere Forschung auf Rückwärtstrajektorien von kompakten Mengen aus. Wir untersuchen das Phänomen einer kompakten Menge, die sich innerhalb der Einheitskreisscheibe rückwärts bewegt, und wie ihre Geschwindigkeit mit ihrer Anfangsposition zusammenhängt. Unser Ziel ist es, die Geschwindigkeit einer kompakten Menge in Bezug auf die Eigenschaften der Halbgruppe zu charakterisieren. Zu diesem Zweck verwenden wir verschiedene potenzialtheoretische Größen wie das harmonische Maß, die Greensche Funktion und die extreme Länge. In höheren Dimensionen untersuchen wir die Dynamik von Halbgruppen auf der Einheitskugel. Wir werden die Bewegungen von Kompakta unter dem Einfluss einer solchen Halbgruppe untersuchen mit Hilfe von geometrischen und potenzialtheoretischen Werkzeugen. Insbesondere werden das Volumen und die Energie dieser Kompakta sowie das asymptotische Verhalten der genannten Größen untersucht. Darüber hinaus werden die Ergebnisse über die Geschwindigkeiten von Kompakta in der komplexen Ebene auf den Fall der Einheitskugel übertragen. Außerdem werden die Forschungsergebnisse zu Halbgruppen der Einheitskugel für Halbgruppen konvexer Gebiete in höher-dimensionalen komplexen Räumen verallgemeinert. Die beschriebenen Projekte stellen aktuelle Forschungsprobleme dar, deren Beantwortung zu einem wesentlichen Beitrag zur Erweiterung unserer Kenntnisse über Halbgruppen holomorpher Funktionen führen wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Griechenland, Italien, Spanien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Leandro Arosio; Professor Dr. Filippo Bracci; Professor Dr. Manuel Domingo Contreras Marquez; Professor Dr. Santiago Diaz-Madrigal; Professor Dr. Pavel Gumenyuk; Dr. Konstantinos Zarvalis
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Oliver Roth