Inertial Manifolds of Nonautonomous Evolutionary Equations: Smoothness and Discretization

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Pötzsche
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2004 bis 2007
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5436515

... Bislang wurde die Theorie der Inertialmannigfaltigkeiten weitgehend für autonome Gleichungen entwickelt, bei denen die Zeitvariable nicht explizit auf der rechten Seite der Gleichung auftaucht. Dies ist sowohl aus inner-mathematischer Sicht, als auch in Hinblick auf Anwendungen unbefriedigend und vielfach unrealistisch, falls etwa zeitlich veränderliche Systemparameter berücksichtigt werden müssen. Daher soll sich das vorliegende Forschungsvorhaben zunächst mit folgendem Punkt beschäftigen: Verallgemeinerung der existenten Theorie der Inertialmannigfaltigkeiten auf nichtautonome abstrakte Evolutionsgleichungen, also auf Probleme, die explizit von der Zeit abhängen. Die Untersuchung des qualitativen Verhaltens abstrakter Evolutionsgleichungen erfolgt nun in der Praxis numerisch, da es in allen relevanten Fällen unmöglich ist, Lösungen explizit zu bestimmen. Aus diesem Grund werden die betrachteten Systeme Zeit-diskretisiert und durch Differentialgleichungen ersetzt. Dies führt auf die verbleibenden beiden Punkte meines Vorhabens: Während abstrakte Evolutionsgleichungen Differentialgleichungen sind, d.h. kontinuierliche Zeit besitzen, wollen wir eine entsprechende Theorie für unendlich-dimensionale Differenzengleichungen entwickeln, wobei die Zeit diskret ist. Unter Benutzung dieser diskreten Ergebnisse, beabsichtigen wir, das Verhalten von Inertialmannigfaltigkeiten unter Zeit-Diskretisierung mit einem numerischen Verfahren zu studieren. Als Ziel sollen hierbei Konvergenzresultate für die approximativen Inertialmannigfaltigkeiten bewiesen werden, falls die betrachteten Schrittweiten klein sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Professor Dr. George R. Sell