Beschränkte Forcing Axiome und Innere Modelle

• Antragsteller: Dr. Andreas Lietz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 542745507

Das Hauptziel dieses Projektes ist es, die Verbindung zwischen Beschränkten Forcing Axiomen und kanonischen Inneren Modellen besser zu verstehen. Wie stark ist Bounded Martins's Maximum im Sinne von Konsitenzstärke genau? Wie viele große Kardinalzahlen sind nötig, damit Woodin's Axiom (*) in einer Forcingerweiterung wahr sein muss? Wie groß genau ist der Einfluss von Bounded Martin's Maximum auf die Struktur des kanonischen Ideals auf der ersten überabzählbaren Kardinalzahl, des nichtstationären Ideals? All dies sind wichtige Fragen der Mengenlehre, die seit langer Zeit unbeantwortet sind. Mit diesem Projekt schlage ich eine Strategie vor, bestimmte Methoden in der Theorie des iterierten Forcings und der Inneren Modell Theorie zu entwickeln, welche große Fortschritte an diesen Fragen bedeuten würden, wenn sie diese nicht gar lösen. Sowohl Bounded Martin's Maximum und Woodin's Axiom (*) sagen aus, dass eine gewisse Maximalität in dem mengentheoretischen Universum herrscht. Bounded Martin's Maximum verlangt dies direkter, es verlangt Maximalität bezüglich der Menge aller Mengen mit erblicher Kardinalität höchstens der ersten überabzählbaren Kardinalzahl bezüglich existenzieller Aussagen und stationäre Mengen bewahrenden Forcings. Woodin's Axiom (*) verlangt hingegen, dass ein grosses Stück des Universums eine Forcingerweiterung eines kanonischen inneren Determiniertheitsmodelles mittels des Forcings Pmax ist. Das dies ein natürliches Maximalitätsaxiom bildet ist mittels Woodin's einschlägiger Pmax Theorie begründet. Vor kurzer Zeit gelang Asperó-Schindler ein beeindruckender Durchbruch. Sie haben gezeigt, dass unter der Existenz einer echten Klasse von Woodin Kardinalzahlen Woodin's axiom (*) äquivalent zu einer Version von Bounded Martin's Maximum ist. In meiner Dissertation konnte ich dieses Resultat bedeutend auf viele verschieden Versionen von Bounded Martin's Maximum auf der einen Seite und Variationen von Woodin's Axiom (*) auf der anderen Seite verallgemeinern. Der wichtigste Fall ist durch das neue Forcingaxiom BQM und der Version von Woodin's Axiom (*) bezüglich dem prominenten Verwandten Qmax von Pmax gegeben. Darüberhinaus habe ich neue Methoden in der Theorie von iteriertem Forcing entwickelt. Hiermit lässt sich zum ersten Mal auf allgemeine Weise Forcing Iterationen konstruieren, die die erste unerreichbare Kardinalzahl erhalten aber viele stationäre Mengen zerstören können. Diese beiden Resultate konnte ich kombinieren um eine Frage von Woodin zu beantworten, die seit einem Vierteljahrhundert offen geblieben ist. Genaugenommen konnte ich zeigen, dass unter der Existenz von einem unerreichbaren Limes von superkompakten Kardinalzahlen es ein stationäres Mengen bewahrendes Forcing geben muss, welches erzwingt, dass das nichtstationäre Ideal dicht ist. Dieses Projekt wird ähnliche Techniken im Bereich des Iterierten Forcings und der Inneren Modelltheorie entwickeln mit dem Ziel den obigen Fragen auf den Grund zu gehen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Österreich
• Gastgeberin: Professorin Dr. Sandra Müller