Effektive und stabile Berechnung der (rechten) partiellen Indizes regulärer Matrixfunktionen

• Antragsteller: Professor Dr. Bernd Silbermann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2003 bis 2007
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5402274

Eine riesige Anzahl vielfältigster Probleme der theoretischen und angewandten Mathematik führt auf das Problem der WienerHopf-Faktorisierung von regulären Matrixfunktionen. Die Existenzbedingungen für Wiener-Hopf-Faktorisierungen sind hinreichend gut studiert. Als kritischer Punkt verbleibt in der Regel die Berechnung der partiellen Indizes, deren Kenntnis für das Studium der betrachteten konkreten Probleme von ausschlaggebender Bedeutung ist (etwa für die eindeutige Lösung von Gleichungen, die in der Streutheorie auftreten). Trotz der intensiven weltweiten Bemühungen ist es bislang nicht gelungen, auch nur ansatzweise allgemeine Strategien zur Bestimmung der partiellen Indizes zu gewinnen. Nur für wenige spezielle Matrixfunktionen (beispielsweise für solche von Dreiecksgestalt oder vom Daniele-Khrapkov Typ) gibt es weitergehende Resultate. Dieser Umstand tritt als ernsthaftes Hindernis für die Anwendung der Wiener-Hopfschen Methode auf. Das vorgeschlagene Projekt geht von einem völlig neuen Ansatz aus. Es ist wohlbekannt, daß die Berechnung der partiellen Indizes zur Bestimmung der Kerndimensionen gewisser Faltungsoperatoren äquivalent ist; letzteres Problem erscheint zumindest für glatte Matrixfunktionen mit Hilfe der numerischen Analysis lösbar zu sein: die Kerndimensionen von Faltungsoperatoren widerspiegeln sich auf komplizierte Weise in dem asymptotischen Verhalten der Singulärwerte von bestimmten endlichdimensionalen Approximationen dieser Faltungsoperatoren. Ziel des Projektes ist es, diese Informationen zu dechiffrieren und in effektive und stabile Algorithmen umzusetzen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen