Kombinatorische und probabilistische Aspekte symmetrischer Kanten- und kosmologischer Polytope

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Martina Juhnke-Kubitzke; Professor Dr. Christoph Thäle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539865598

Polytope gehören zweifellos nicht nur zu den zentralen Objekten aktueller Forschung in Geometrie und Kombinatorik, sondern sie sind aufgrund ihrer natürlichen Anwendungen in zahlreichen Gebieten, wie beispielsweise Optimierung, theoretischer Physik, mathematischer Statistik, algorithmischer Geometrie sowie Machine Learning von herausragender Bedeutung. Zwei wichtige Klassen von Gitterpolytopen, die sowohl wegen ihrer intrinsischen kombinatorischen und geometrischen Eigenschaften als auch aufgrund ihrer zahlreichen Anwendungen, insbesondere in der Theorie metrischer Räume und der Physik, von Interesse sind, sind zu einem Graphen assoziierte symmetrische Kantenpolytope und kosmologische Polytope. In dem vorgeschlagenen Forschungsprogramm untersuchen wir diese beiden Polytopklassen (und weitere Verallgemeinerungen) sowohl von einer deterministischen als auch einer probabilistischen Sichtweise. Die Ziele lassen sich folgendermaßen zusammenfassen: (a) Es werden mehrere mögliche Verallgemeinerungen symmetrischer Kantenpolytope, bei denen der zugrundeliegende Graph durch einen höher-dimensionalen Simplizialkomplex ersetzt wird, eingeführt und deren fundamentalen geometrischen und kombinatorischen Eigenschaften, wie ihre Dimension und ihre f-, h-, h^* und gamma-Vektoren, untersucht. Insbesondere wird die Frage nach der Existenz einer regulären unimodularen Triangulierung, d.h. einer quadratfreien Gröbner-Basis für die torischen Ideale betrachtet. (b) Es werden kombinatorische, geometrische und probabilistische Eigenschaften zufällig erzeugter Gitterpolytope, wie zufälliger symmetrischer Kantenpolytope und kosmologischer Polytope untersucht. Das asymptotische Verhalten von Erwartungswert und Varianz des f-Vektors bei wachsender Größe des Graphen oder Simplizialkomplexes ist eine wichtige Frage. Neben dem klassischen Erdös-Rényi-Modell werden auch r-reguläre und geometrische Zufallsgraphen betrachtet. (c) Es werden asymptotische Verteilungseigenschaften zufällig erzeugter hochdimensionaler Gitterpolytope untersucht. Insbesondere beweisen wir, mittels Varianten der Steinschen Methode, wie der Malliavin-Stein-Methode, quantitative zentrale Grenzwertsätze für die Anzahl der Facetten und das logarithmische Volumen zufälliger symmetrischer Kantenpolytope und kosmologischer Polytope. (d) Dieses Projekt trägt zu einem tieferen Verständnis des typischen oder erwarteten Verhaltens von Gitterpolytopen bei, indem diese aus einem probabilistischen Winkel betrachtet werden. Dies komplementiert den traditionellen Ansatz, Eigenschaften spezifischer Klassen von Gitterpolytopen zu untersuchen. Auf Grundlage dieses Projekts ergeben sich neue Forschungsrichtungen für die Zukunft, wie die Untersuchung verallgemeinerter symmetischer Kantenpolytope für zufällige Simplizialkomplexe und Matroide sowie die Frage nach feineren zentralen Grenzwertsätzen, wie moderate oder große Abweichungen und Konzentrationsschranken.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien