Konvexität und Graßmann-Mannigfaltigkeiten in der Statistischen Inferenz

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Wahl
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539663130

Zukünftige Fortschritte in den Bereichen Statistik und Data Science werden in vielen Fällen von kombinatorischen, algebraischen und geometrischen Erkenntnissen abhängen. Während die umgebenden Räume für Datendarstellungen gegenwärtig fast ausschließlich hochdimensional sind, können die in den Anwendungen tatsächlich vorkommenden Daten in der Regel durch niedrigdimensionale Strukturen beschrieben werden. Diese sind oft durch differenzierbare Mannigfaltigkeiten, algebraische Varietäten oder Formzwänge gegeben. Zu den erfolgreichen mathematischen Ansätzen im Zusammenhang mit solchen Strukturen gehören die topologische Datenanalyse, die Informationsgeometrie und die algebraische Statistik. Diese Fachgebiete bilden die Grundlage für neuartige Algorithmen in der Statistik und den modernen Datenwissenschaften und das in solch unterschiedlichen Bereichen wie Manifold Learning, nichtparametrischer Statistik, Maximum-Likelihood-Schätzung und Bayesscher Inferenz. Ziel des Projektes ist es, das Verständnis von statistischen Modellen, die eine signifikante kombinatorische und geometrische Komponente beinhalten, zu verbessern. Wir untersuchen gleichmäßige Verteilungen auf Polytopen und konvexen Körpern, Kovarianzmatrizen, die in bestimmten linearen Räumen symmetrischer Matrizen liegen und diskrete statistische Modelle, die durch Graßmann-Mannigfaltigkeiten beschrieben werden. Wir nehmen eine exakte und nicht-asymptotische Sichtweise an und betrachten Stichproben von kleiner bis mittlerer Größe. Dies ermöglicht es uns Methoden aus der Statistik und der Computeralgebra zu kombinieren, um mathematisch optimale und präzise Lösungen zu erzielen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien
• Mitverantwortlich: Professor Bernd Sturmfels, Ph.D.