Stochastische Geometrie in nicht-Euklidischen Räumen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Anna Gusakova; Professor Dr. Christoph Thäle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 531541571

Das Ziel dieses Projekts ist die Erweiterung und die Analyse gewisser Modelle für Zufallsmosaike des Euklidischen Raum auf den nicht-Euklidischen Fall mit besonderem Fokus auf den Standardräumen konstanter Schnittkrümmung. Genauer werden zwei Modelle für Zufallsmosaike untersucht: zufällige Laguerre-Mosaike, die die klassische Poisson-Voronoi-Konstruktion verallgemeinern, und Poissonsche Hyperebenenmosaike. Wir zeigen zunächst, dass die bekannten Konstruktionen im Euklidischen Raum auf Räume konstanter Krümmung ausgedehnt werden können. Im Zentrum der Untersuchungen stehen dann die Geometrie von typischen und gewichteten Zellen sowie das probabilistische Verhalten verschiedener geometrischer Funktionale, wie etwa die Zellintensität oder Volumen und f-Vektor der typischen oder der Nullpunktzelle. Darüber hinaus werden Fragen nach geometrischen Extremwerten vom Euklidischen Rahmen auf Räume konstanter Krümmung übertragen. Dazu sollen neue Plug-In-Resultate für Poissonprozess-Konvergenz mit Hilfe der Malliavin-Stein Technik entwickelt werden. Diese allgemeinen Ergebnisse werden anschließend verwendet, um das geometrische Extremwertverhalten von nicht-Euklidischen Zufallsmosaiken zu untersuchen (z.B. maximale Knotengrade oder der Inradius der typischen Zelle). Es ist ein übergeordnetes Ziel dieses Projekts, ein tieferes Verständnis für Geometrie-gesteuerte zufällige Systeme zu erlangen. Insbesondere sollen diejenigen Parameter eines solchen Systems identifiziert werden, die eine gewisse Universalität in Bezug auf den zu Grunde liegenden Raum aufzeigen, und es sollen Parameter untersucht werden, die explizit durch die Geometrie des Raumes beeinflusst sind, insbesondere durch dessen Krümmung. Insbesondere wir das Verhalten geometrischer Funktionale in Abhängigkeit des Krümmungsparameters untersucht, darunter auch die Frage nach der Analytizität als Funktion der Krümmung.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme