Mikro-zu-Makro-Variationsanalyse von Gitterenergien für klassische Spinsysteme in einer nicht-flachen Umgebung: Entstehung und Wechselwirkung von Defekten

• Antragsteller: Professor Dr. Marco Cicalese
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 529250402

Das Hauptziel dieses Projekts ist die Variationsanalyse von energiegetriebenen physikalischen Systemen, die durch die Entstehung und Wechselwirkung von Defekten gekennzeichnet sind. Wir konzentrieren uns auf zweidimensionale klassische Spinmodelle. Wir werden zwischen zwei Klassen von Spinsystemen unterscheiden, je nachdem, ob das Spinfeld die Gitterpunkte auf eine diskrete oder eine kontinuierliche Menge abbildet. Prototypische Beispiele für Systeme der ersten Art sind Ising- oder Potts-Systeme, während Beispiele für Systeme der zweiten Klasse XY-Spins oder nematische Flüssigkristalle sind. Die beiden Klassen von Spinsystemen sind üblicherweise durch das Auftreten von Defektstrukturen unterschiedlicher Kodimension gekennzeichnet. Während Ising- und Potts-Systeme tatsächlich Defekte der Kodimension 1 (hier als geometrische Singularitäten bezeichnet) bilden, können in XY-Systemen Defekte der Kodimension 2 (hier als topologische Singularitäten bezeichnet) auftreten. In komplexeren Systemen koexistieren beide Arten von Singularitäten. Prototypische Beispiele für solche Systeme sind Flüssigkristalle oder Kunststoffkristalle. In diesem Projekt werden wir uns auf die mathematische Analyse der oben vorgestellten komplexeren Gittermodelle konzentrieren. Wir beziehen uns auf solche Modelle als MCS-Modelle (Multiple Codimension Singularities). Als Leitbeispiel haben wir das sogenannte verallgemeinerte XY-Modell im Auge. Hier kann das Spinfeld sowohl Defekte der Kodimension 2 (Vortices) als auch Defekte der Kodimension 1 (Strings) bilden, deren Verhalten und mögliche Wechselwirkung die Grundzustände des Systems charakterisieren. Die Analyse der Entstehung von Defekten und ihrer Wechselwirkungen erfordert das Verständnis der Energielandschaft auf mehreren Skalen. Dies führt zu einem komplizierten Bild, das oft durch ein Coarse-Graining Verfahren auf verschiedenen Energieskalen vereinfacht werden kann. Von einem rigorosen Variationsgesichtspunkt aus wird die Coarse-Graining angegangen, indem die Gamma-Grenzen (möglicherweise neu skalierte Versionen davon) der Energie berechnet werden, wenn der Gitterabstand verschwindet. Für das verallgemeinerte XY-Modell wurde kürzlich ein solches Gamma-Konvergenz in der flachen Umgebung erhalten, und es hat viele Fragen aufgeworfen, von denen einige in diesem Vorschlag berücksichtigt werden. Die erste Frage ist die Analyse von MCS-Modellen auf kompakten Verteilern. Wir erwarten, dass die Topologie der Mannigfaltigkeit die Emergenz und die Interaktion der Singularitäten beeinflusst. Diese Analyse erfordert die Erweiterung mehrerer mathematischer Werkzeuge, die im flachen Raum auf die gekrümmte Umgebung ausgenutzt werden. Die zweite Frage betrifft die Analyse von MCS-Modellen in Verbundwerkstoffen, bei denen die Vergröberung mit einem Homogenisierungsprozess gekoppelt sein soll.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen