Tautologische Systeme und Quantum-Differentialgleichungen für homogene Räume

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Sevenheck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 527733662

Das Ziel des vorliegenden Projektes ist es, Spiegelsymmetrie für homogene Räume zu untersuchen. Homogene Räume sind eine außerordentlich wichtige Klasse von algebraischen Varietäten, welche durch die Existenz einer transitiven Gruppenwirkung ausgezeichnet sind. Die verschiedenen Aspekte von Spiegelsymmetrie (enumerative, Hodge-theoretische oder homologische) sind für den Fall torischer Varietäten gut verstanden, aber sobald die zu untersuchende Varietät nicht torisch ist, gibt es im Allgemeinen weit weniger Ergebnisse. Das vorliegende Projekt soll Fortschritte für verschiedene Klassen homogener Räume erzielen, und dabei sollen Techniken ganz unterschiedlichen Ursprungs benutzt werden. Einerseits sollen die bekannten Spielsymmetrieaussagen auf weitere Klassen homogener Räume verallgemeinert werden, zum Teil durch konkrete Identifikationen von Quantendifferentialgleichungssystemen mit den Charakter-D-Moduln des Spiegels, diese Herangehensweise wird insbesondere für kominuscule Räume verwendet werden. Andererseits ist geplant, systematisch die Theorie der tautologischen Systeme zu benutzen. Diese sind eine weitreichende Verallgemeinerung der hypergeometrischen GKZ-D-Moduln. Aufbauend auf der vor kurzem erreichten funktoriellen Konstruktion von tautologischen Systemen soll der Quanten-D-Modul eines homogenen Raumes aus solch einem System durch eine Dimensionsreduktion konstruiert werden. Verwandte Differentialgleichungssysteme, wie der Frenkel-Gross-Zusammenhang, oder die verallgemeinerten Kloosterman-D-Moduln sollen ebenfalls in diesem Zusammenhang untersucht werden. Insbesondere soll die irreguläre Hodgefiltrierung dieser D-Moduln aus den Hodge-theoretischen Ergebnissen über tautologische Systeme bestimmt werden. Durch die Kombination des klassischen, Lie-theoretischen Zugang zur Spiegelsymmetrie für homogene Räume mit diesen tiefliegenderen Ideen sollen insbesondere die kanonischen Landau-Ginzburg-Modelle als Dimensionsreduktionen von Lefschetz-Faserungen der Spiegelvarietät beschrieben werden. Desweiteren sollen die Konstruktionen kanonischer Landau-Ginzburg-Modelle durch darstellungstheoretische Methoden weiter studiert werden, um diese über den Fall kominusculer Räume hinaus zu erweitern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen