Grobe Mediane als Ersatz für Hyperbolizität

• Antragsteller: Dr. Elia Fioravanti
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 515507199

Geometrische Gruppentheorie untersucht unendliche, endlich erzeugte Gruppen mittels ihrer Wirkung auf metrischen Räumen. Sie ist ein sich schnell entwickelndes Gebiet, welchem besondere Bedeutung durch ihre vielen Verbindungen zur Algebra, Topologie und Geometrie zukommt. Eine natürliche und besonders interessante Fragestellung in diesem Zusammenhang ist, wie sich die Eigenschaften einer endlich erzeugten Gruppe G in ihrer äußeren Automorphismengruppe Out(G) widerspiegeln. Bereits wenn man nur gewisse Gruppen G betrachtet, ergeben sich ebenso schöne wie komplizierte Theorien, z.B. Abbildungsklassengruppen oder Out(F_n). Besonders bemerkenswert ist hier, dass selbst Automorphismen allgemeiner „negativ gekrümmter'' Gruppen, d.h. Fundamentalgruppen negativ gerkrümmter Räume, in voller Allgemeinheit untersucht werden können und eine sehr reichhaltige Struktur mit tiefliegenden Verbindungen zu Gruppenwirkungen auf R-Bäumen besitzen. Eine vergleichbare Theorie von Out(G) für lediglich „nicht-positiv gekrümmte'' Gruppen G hätte weitreichende Konsequenzen, da viele Gruppen geometrischen Ursprungs nur diese schwächere Eigenschaft besitzen. Leider sind keine der klassischen Methoden in dieser allgemeineren Situation verfügbar und es gibt wenige Hinweise darauf, dass sich kein komplett wildes Bild ergibt. Vor kurzem hat sich jedoch gezeigt, dass die Automorphismen „kokompakt kubulierter'' Gruppen, d.h. Fundamentalgruppen nicht-positiv gekrümmter Räume mit einer Zerlegung in Würfel, sehr viel Struktur besitzen. Eine vollumfängliche Theorie ist jedoch noch nicht bekannt und wartet darauf entdeckt zu werden. Diese hätte das Potential bisherige Forschungsansätze zu vereinheitlichen und jüngste Durchbrüche im Bereich von Automorphismen rechtwinkliger Artin-Gruppen zu verallgemeinern. Mein Forschungsvorhaben, welches ich hier unterbreite, hat das Ziel, die ersten Schritte in diesem spannenden Forschungsprogramm zu gehen. Als erstes werde ich Out(G) in dieser extremen Allgemeinheit untersuchen und zeigen, dass sie für jede kokompakt kubulierte Gruppe endlich erzeugt ist. Ein wichtiges Hilfsmittel wird hier die Wirkung von Out(G) auf dem Raum der Kubulierungen von G und dessen Vergröberung sein: der Raum aller groben Mediane. Zweitens, werde ich subtilere Fragestellungen über Automorphismen „spezieller'' Gruppen (nach Haglund--Wise) und rechtwinkliger Artin-Gruppen untersuchen. Mein Ziel hier ist zu zeigen, dass fixe Untergruppen und insbesondere Wachstumsraten einem Muster folgen, welches immer noch beherrschbar aber dennoch reich und vielseitig ist. Drittens, werde ich zeigen, dass die Klasse von kokompakt kubulierten Gruppen größer ist als erwartet, indem ich neue Methoden zur Kubulierung nicht-hyperbolischer Gruppen entwickle. Die fundamental neue Idee, welche sich als roter Faden durch das gesamte Projekt zieht, ist anstelle negativer Krümmungseigenschaften „grobe Mediane'' zu verwenden, welche vor kurzem von Brian Bowditch eingeführt wurden.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen