Fehlerabschätzungen für elastische Flüsse

• Antragsteller: Professor Dr. Sören Bartels; Professor Dr. Balázs Kovács
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 417223351

Dünne elastische Strukturen führen zu einer Vielzahl von interessanten Phänomenen und Anwendungen. Häufig werden zwei energiestabile Biegezustände verwendet, für eine quasistationäre Schaltvorrichtung oder zur Erzeugung mechanischer Fortbewegung. Für alle diese technischen Entwicklungen sind große Verformungen von dünnen elastischen Objekten wichtig. Ihre mathematische Modellierung führt zu beschränkten Biegeenergien, bei denen die Beschränkung den Widerstand gegen Scher- und Dehnungseffekte dünner elastischer Platten oder die Undehnbarkeit und das Verdrehungsverhalten eines elastischen Stabes mit kleinem Querschnitt darstellt. Verschiedene Finite-Elemente-Diskretisierungen solcher Energien sind kürzlich entwickelt worden. Wir verfolgen hier die Idee der numerischen Approximation harmonischer Abbildungen, die die Direktorfelder mit Werten in den gegebenen Mannigfaltigkeiten beschreiben, Hiermit konnten praktische und konvergente numerische Methoden entwickelt werden. Parallel dazu wurde die Ableitung von Fehlerschätzungen für Klassen von geometrischen Evolutionsprobleme behandelt, zu denen das Willmore-Problem, die mittlere Krümmung und der der harmonische Abbildungs Wärmefluss gehört. Entscheidend bei diesen Entwicklungen war die Identifizierung einer äquivalenten Formulierung der Evolutionsprobleme als nichtlineares parabolisches System, das Gleichungen für geometrische Größen wie das Normalfeld enthält. In diesem Projekt wollen wir die Entwicklungen zusammenführen, um Fehlerabschätzungen für Finite-Elemente Diskretisierungen von Zeitschrittschemata für Gradientenflüsse mit verschiedenen Biegeenergien zu erhalten. Die Motivation hierfür ist eine doppelte: Erstens rechtfertigt dies die numerische Simulation natürlicher, stark gedämpften Relaxationsdynamik, und zweitens führt es zu Fehlerabschätzungen für die Annäherung an stationäre Zustände, die durch bestimmte Evolutionsprozesse erreicht werden. Darüber hinaus, dient dies als Schritt zur Simulation allgemeiner dynamischer Prozesse, die Trägheitseffekte erfassen, z.B. schwingende elastische Stäbe. Weitere Anwendungen sind die Bestimmung von stationären Zuständen von magnetischen elastischen Filmen und Stäben.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 3013: Vector- and Tensor-Valued Surface PDEs