Arithmetische Zählungen von Bitangenten ebener Quartiken mittels tropischer Geometrie

• Antragstellerin: Professorin Dr. Hannah Markwig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 504195479

In der enumerativen Geometrie werden geometrische Zählprobleme behandelt. Viele enumerative Probleme sind leicht zu stellen, aber schwer zu beantworten, insbesondere, wenn man über einem anderen Körper als den komplexen Zahlen arbeitet. Diese intrinsische Schwierigkeit hat zur Blüte der enuemrativen Geometrie in den letzten Jahrzehnten beigetragen, und zu fruchtbaren Verbindungen zu anderen mathematischen Gebieten geführt wie algebraische und arithmetische Geometrie, Darstellungstheorie, mathematische Physik, Zufallsmatrizen und sogar zu theoretischer Physik und Stringtheorie. Seit kurzem bieten sogenannte verfeinerte Invarianten, die als Zählmethode in arithmetischer Geometrie betrachtet werden können, eine universelle Theorie des geometrischen Zählens.Mit diesem Antrag schlage ich vor, die Theorie des arithmetischen Zählens durch die Methode der Degeneration und Tropikalisierung zu bereichern.Tropische Geometrie ist ein modernes Gebiet, das einen Methodenaustausch zwischen algebraischer Geometrie und Kombinatorik erlaubt.Durch einen Degenerationsprozess namens Tropikalisierung wird einer algebraischen Varietät eine tropische zugeordnet. Letztere ist ein polyedrischer Komplex mit bestimmten Eigenschaften. Die Tropische Geometrie liefert interessante Verbindungen zu vielen anderen Gebieten wie z.B. symplektische Geometrie, arithmetische Geometrie, mathematische Physik und Optimierung, aber auch zu Anwendungsgebieten wie Wirtschaft, machine learning und Bioinformatik.In 2002 hat Mikhalkin, einem Vorschlag von Kontsevich folgend, die tropische Geometrie in der enumerativen Geometrie eingeführt, indem er den berühmten Korrespondenzsatz bewiesen hat.Das Projekt behandelt arithmetische Zählungen von Bitangenten glatter ebener Quartiken. Dies ist ein natürlicher Ausgangspunkt, da die Theorie tropischer Bitangenten gut verstanden ist, nicht nur über den komplexen Zahlen, sondern auch über den reellen.Schon Plücker wusste, dass eine glatte Quartik genau 28 Bitangenten über den komplexen Zahlen hat. Über den reellen kann sie 4, 8, 16 oder 28 haben, je nach topologischem Typ. Vor kurzem haben Larson und Vogt die arithmetische Zählung von Bitangenten initiiert. Wenn man zu den reellen Zahlen spezialisiert, ergibt sich eine invariante Zählung mit Vorzeichen, ähnlich zu den bekannten Welschinger Invarianten.In diesem Projekt wird geplant, Werkzeuge zur Berechnung arithmetischer Multiplizitäten von Bitangenten mittels der tropischen Geometrie bereitzustellen. Die tropische Zählung soll auch mit tropischen Geraden in einer tropischen Kubik in Zusammenhang gebracht werden. Eine langfristige Perspektive ist es, arithmetische Zählungen von ebenen Kurven durch Punkte zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen