Übergruppen ausgezeichneter unipotenter Elemente in reduktiven algebraischen Gruppen

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 498503969

Der Antrag liegt in einem Kernbereich der algebraischen Gruppentheorie und an der interdisziplinären Schnittstelle von Algebra, Darstellungstheorie und geometrischer Invariantentheorie. Es ist ein Beitrag zum Verständnis der Untergruppenstruktur reduktiver algebraischer Gruppen. Ziel dieses Vorhabens ist es insbesondere, die Hauptergebnisse der jüngsten gemeinsamen Arbeit mit Bate und Martin über Übergruppen von regulären unipotenten Elementen und einer Arbeit von Korhonen auf reduktive Übergruppen von ausgezeichneten unipotenten Elementen reduktiver Gruppen (beide möglicherweise nicht zusammenhängend) zu verallgemeinern.Aufgrund der zentralen Bedeutung von Bala-Carter-Theorie spielen ausgezeichnete unipotente Elemente reduktiver Gruppen G und ausgezeichnete nilpotente Elemente ihrer Lie-Algebren Lie(G) eine zentrale Rolle bei der Beschreibung und Untersuchung unipotenter Klassen in G und nilpotenter G-Bahnen in Lie(G). In der modularen Darstellungstheorie endlicher Gruppen vom Lie-Typ und reduzierter einhüllender Algebren sind wiederum nilpotente Bahnen besonders wichtig. Daher ist ein Verständnis der Eigenschaften von reduktiven Übergruppen H solcher Elemente in G von besonderer Bedeutung.Unser Ziel ist zu zeigen, dass solche Untergruppen H unter geeigneten natürlichen Voraussetzungen besondere Eigenschaften besitzen, nämlich, dass sie G-irreduzibel sind, im Sinne von J-P. Serre, das heißt, sie sind in keiner echten parabolischen Untergruppe von G enthalten.Wir zeigen auf, dass ein Großteil der Maschinerie, die zur Herleitung der Hauptergebnisse in unserer früheren Arbeit verwendet wurde, in der der Sonderfall der Übergruppen H von regulären unipotenten Elementen behandelt wird, in diesem allgemeineren Kontext verwendet werden kann, um dieselbe Frage der G- Irreduzibilität zu behandeln. Tatsächlich ähneln viele der Schlüsseleigenschaften reduktiver Übergruppen von regulären unipotenten Elementen von G den Übergruppen von ausgezeichneten unipotenten Elementen. Zentral sind die Konzepte der G-vollständigen Zerlegbarkeit und der optimalen parabolischen Untergruppen.Wir betonen jedoch, dass diese Erweiterung alles andere als Routine ist, da die zentralen Schlüsselsätze für reguläre unipotente Elemente aus den Arbeiten von Steinberg und Spaltenstein in dieser Allgemeinheit nicht verfügbar sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Michael Bate; Professor Dr. Benjamin Martin