Wesentliche Erweiterung und Vereinheitlichung der Theorie von Patankar-Typ-Verfahren durch einheitliche Ordnungsanalyse, erstmalige Untersuchung der Stabilität, Zeitschrittweitenadaption und Dense-Output-Formeln

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Meister
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 466355003

Viele Anwendungen lassen sich durch positive und konservative gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben und es ist sehr wünschenswert die Positivität und Konservativität auch für die numerische Lösung zu garantieren. Standardverfahren wie Runge-Kutta-Verfahren (RK) erhalten zwar die Konservativität, können aber im Fall höherer Ordnung keine unbedingte Positivität der Lösungskomponenten sicherstellen. Dies muss bei solchen Verfahren durch zusätzliches und aufwändiges Postprocessing geschehen.Ein Klasse von Verfahren, welche neben der Konservativität auch die Positivität uneingeschränkt garantiert, sind die Patankar-Typ-Verfahren. Diese Klasse gliedert sich in BBKS- und MPRK-Verfahren und in den letzten drei Jahren erschienen einige Veröffentlichungen zu dieser interessanten Verfahrensklasse, insbesondere da sich die MPRK-Verfahren bei der Lösung steifer Probleme ausgezeichnet haben. In dem beantragten Projekt soll die existierende Theorie im Bereich der Ordnungsanalyse vereinheitlicht werden und theoretische Lücken hinsichtlich Stabilität, Zeitadaption und Dense-Output-Formeln geschlossen werden. Alle Patankar-Typ-Verfahren basieren auf der Modifikation expliziter RK-Verfahren mit dem sogenannten Patankar-Trick. Durch formale Betrachtung als gestörte RK-Verfahren soll eine einheitliche Ordnungsanalyse ermöglicht werden und ein Vergleich der Verfahren untereinander erleichtert werden.Das Hauptziel des Projekts besteht in der erstmaligen Entwicklung einer Stabilitätsanalyse für Patankar-Typ-Verfahren. Zwar haben sich insbesondere die MPRK-Verfahren in numerischen Rechnungen als sehr stabil herausgestellt, theoretische Untersuchen hierzu fehlen allerdings bislang. Ein wesentlicher Grund für das Fehlen einer Stabilitätstheorie ist der nichtlineare Zusammenhang der Iterierten, selbst bei Anwendung des Verfahrens auf ein lineares System. Im Projekt sollen sowohl lokale als auch globale Aussagen über Stabilität getroffen werden. Hierfür wird die Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme mit mehreren Unbekannten und Parametern angewendet. Diese Analyse erlaubt es insbesondere Bedingungen an die Patankar-Gewichte herzuleiten, welche Stabilität garantieren.Patankar-Typ-Verfahren nutzen Verfahren geringerer Ordnung zur Bestimmung der benötigten Patankar-Gewichte. Diese können wiederum zur Abschätzung des lokalen Fehler und der Zeitadaption genutzt werden. Derzeit sind keine adaptiven Patankar-Typ-Verfahren bekannt, die auch bei geringen Toleranzen konkurrenzfähig sind. Mit Hilfe der neuen Stabilitätsanalyse können effiziente adaptive Patankar-Typ-Verfahren entwickelt werden.Abschließend werden Dense-Output-Formeln (DOF) für Patankar-Typ-Verfahren entwickelt, mit denen sich Näherungswerte entsprechender Ordnung für beliebige Zeitpunkte generieren lassen. Neu ist hierbei, dass auch die DOF Positivität und Konservativität zu beliebigen Zeitpunkten garantieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen