Quantengruppen, Graphen und Symmetrien via Darstellungstheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Moritz Weber
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 465189426

In unserem geplanten Forschungsprojekt werden wir Quantensymmetrien aus verschiedenen Perspektiven untersuchen: Darstellungstheorie, Kombinatorik, Operatoralgebren und Quanteninformationstheorie. Wir werden unser Verständnis von Quantengruppen und ihren Intertwinerräumen erhöhen, einerseits neue Beispiele solcher Objekte und andererseits neue Quantenkanäle bereitstellen und schließlich das sehr junge Konzept von Quantengraphen studieren.Nun zum Hintergrund des Antrags. Symmetrie ist allgegenwärtig in der Mathematik und den Naturwissenschaften. In der mathematischen Sprache wird dieses Phänomen mit Hilfe von Wirkungen von Gruppen gefasst. In der modernen Mathematik und Physik benötigen wir hingegen ein allgemeineres Verständnis von Symmetrie, nämlich Quantensymmetrie. In der Mathematik verwenden wir dafür den in den 1980ern eingeführten Formalismus der Quantengruppen. In unserer Arbeit folgen wir der analytischen Definition des berühmten polnischen Mathematikers Stanisław Lech Woronowicz.Eines der wichtigsten Werkzeuge im Studium von Quantengruppen ist ihre Darstellungstheorie, oder, etwas technischer, ihre Intertwinerräume. Dieses Gebiet ist zwar bereits recht gut erschlossen, aber ein wirklich tiefgreifendes Verständnis haben wir nur in Spezialfällen. Im ersten Teil unseres Projekts planen wir diese Lücke für die große Klasse der so genannten "easy" Quantengruppen (auch Partitionsquantengruppen genannt) zu schließen. Diese wurden vor etwa einem Jahrzehnt definiert. Sie können mit kombinatorischen und diagrammatischen Mitteln untersucht werden.In unserem zweiten Teil beschäftigen wir uns mit Verallgemeinerungen von Graphen, im mathematischen Sinne. Diese werden vielfältig in den Naturwissenschaften eingesetzt. Vor kurzem wurde nach und nach eine Verallgemeinerung zu Quantengraphen entwickelt. Über diese Objekte wissen wir noch relativ wenig. Wir werden uns ihren Quantensymmetrien und ihrem Zusammenspiel mit Operatoralgebren widmen und neue Objekte assoziieren.Unser dritter Bereich behandelt Quantenkanäle. Diese transportieren Information im Sinne der Quanteninformationstheorie. Wie werden neue derartige Kanäle entwickeln und studieren und diese aus Partitionsquantengruppen ableiten. Dabei werden wir auf die jüngsten Entwicklungen in diesem Bereich aufbauen. Des Weiteren werden wir ihre Entropieproduktion untersuchen und auf ein konzeptionelles Verständnis der Verbindungen zwischen Quantenkanälen, Quantengruppen und Tensorkategorien hinarbeiten.Die Forschungsprojekte werden von einem polnischen Team in Warschau und einem deutschen Team in Saarbrücken durchgeführt werden. In der Vergangenheit hat es zwischen diesen beiden Knotenpunkten bereits einen fruchtbaren Austausch gegeben. Es ist nun an der Zeit, diesen systematisch auszubauen. Wir werden an allen oben genannten Projekten gemeinsam arbeiten. Somit werden wir schlussendlich unser allgemeines Verständnis von Quantenphänomenen vertiefen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Polen
• Kooperationspartner: Professor Dr. Adam Skalski