Fourierrestriktion, Wellengleichungen, und Anwendungen auf Spektralmultiplikatoren in kommutativen sowie nicht-kommutativen Settings

• Antragsteller: Professor Dr. Detlef Müller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 462433077

Wie bereits seit geraumer Zeit bekannt gibt es enge und fundamentale Beziehungen zwischen Fourierrestriktionsabschätzungen (einem Konzept, das in den siebziger Jahren durch E.M. Stein eingeführt wurde), Abschätzungen für lineare und auch nicht-lineare Wellengleichungen (und allgemeineren dissipativen Differentialgleichungen), sowie Spektralmultiplikatorenproblemen für elliptische und allgemeiner subelliptische Differentialoperatoren. Im Rahmen dieses Forschungsprojekts sollen wichtige Aspekte dieser Theorien und Ihrer Zusammenhänge vorangetrieben werden. U.a sollen mit Hilfe der ``polynomial partitioning method'', welche vor wenigen Jahren in bahnbrechenden Arbeiten von L. Guth zum ersten mal erfolgreich auch auf Fourierrestriktionsabschätzungen angewandt wurde, Restriktionsabschätzungen für 2-Hyperflächen mit Punkten verschwindender Gaußscher Krümmung etabliert werden (der Fall nicht-verschwindender Krümmung ist kürzlich in zwei unabhängigen Arbeiten erfolgreich behandelt worden, eine davon eine gemeinsame Arbeit des Antragstellers und seiner Koautoren). Zudem wird angestrebt, Resultate von Guth zu höherdimensionalen Paraboloiden auf beliebige höherdimensionale Quadriken auszudehnen.Des Weiteren sollen in einem eher nicht-kommutativen Setting möglichst scharfe Resultate zu L^p-Spektralmultiplikatoren für sub-elliptische Differentialoperatoren durch das Studium assoziierter Wellengleichungen erzielt werden, u.a. auch mit Hilfe von ``local smoothing'' - Abschätzungen. Die gravierenden Schwierigkeiten im Studium dieser Probleme sind eng mit den zugrundeliegenden, sehr komplexen sub-Riemannschen Geometrien verknüpft. Die bisher dazu in gemeinsamen Arbeiten mit E.M. Stein und A. Seeger erzielten Resultate auf Gruppen vom Heisenberg-Typ basieren, im Gegensatz zu den bekannten Resultaten für elliptische Operatoren, auf Methoden, die die Theorie der Fourierintegraloperatoren weitgehend vermeiden, da sich Letztere im subelliptischen Fall bisher nicht erfolgreich anwenden ließ. Eine neuere gemeinsame Arbeit mit A. Martini und S. Nicolussi-Golo bietet jedoch Anlass zur Hoffnung, dass dies doch in größerem Umfang möglich sein könnte.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen