Arithmetische Statistik nichtkommutativer modularer Symbole

• Antragsteller: Dr. Nils Matthes
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 459838152

Ziel des Vorhabens ist es, statistische Aspekte nichtkommutativer modularer Symbole zu verstehen, und diese in einen algebraisch-geometrischen Bezug zu stellen. Eine der Leitfragen des Projektes ist es, ob nichtkommutative modulare Symbole einer Normalverteilung genügen - eine Frage, die im Falle von klassischen, kommutativen, modularen Symbolen eine positive Antwort hat (Petridis--Risager). Eine wichtige Motivation für diese Fragestellung kommt aus einer engen Verbindung zwischen statistischen Eigenschaften modularer Symbole auf der einen Seite, und tiefliegenden zahlentheoretischen Fragestellungen, wie etwa der abc-Vermutung, auf der anderen - ein Zusammenhang, der zuerst von Dorian Goldfeld beschrieben wurde.Ein weiterer wichtiger Aspekt dieses Vorhabens ist es, eine algebraisch-geometrische Interpretation der mathematischen Strukturen zu finden, welche den statistischen Eigenschaften (nichtkommutativer) modularer Symbole zugrunde liegen. Genauer nimmt in den bahnbrechenden Arbeiten von Petridis--Risager im kommutativen Fall das eingehende Studium einer gewissen reell-analytischen Funktion ("Goldfeld Eisensteinreihe"), eine zentrale Rolle ein. Während ihre analytischen Eigenschaften wohlverstanden sind, ist die algebraisch-geometrische Interpretation dieser Funktion nicht klar. Hier hat kürzlich der Mathematiker Francis Brown die Entdeckung gemacht, dass eine relativ große Klasse reell-analytischer Modulformen einer algebraisch-geometrischen Interpretation genügen. Ein weiteres Ziel dieses Vorhabens ist es daher, den Zusammenhang zwischen Goldfelds Eisensteinreihe, und ihrer Verallgemeinerung durch Chinta--Horozov--O'Sullivan, und Browns Klasse von reell-analytischen Modulformen zu verstehen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Dänemark
• Gastgeber: Professor Dr. Morten Risager