Birationale Geometrie des Modulraums von zyklischen verzweigten Überlagerungen von Kurven

• Antragstellerin: Dr. Irene Schwarz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 456444857

In der Algebraischen Geometrie bezeichnen Hurwitzschemata üblicherweise die Modulräume, welche einfach verzweigte Überlagerungen eines gegebenen Grades d von der projektiven Gerade durch algebraische Kurven parametrisiert. Allgemeiner können Hurwitzschemata auch definiert werden als Modulräume, welche, für eine fixierte Gruppe G, verzweigte G-Überlagerungen C nach D algebraischer Kurven mit einem gegebenen Grad d, wobei C das Geschlecht g und D das Geschlecht h hat. Diese Modulräume stehen in enger Beziehung zur Gromov-Witten-Theorie, welche ihrerseits Anwendungen z.B. in der Stringtheorie hat. Diese Räume werden jedoch selten um ihrer selbst Willen untersucht, obwohl sie bereits in dem wegweisenden Artikel von Harris und Mumford, in dem gezeigt wurde, dass die Modulräume algebraischer Kurven von (ungeradem) Geschlecht größer 23 maximale Kodaira dimension haben (d.h. von allgemeinem Typ sind), eine zentrale Rolle gespielt haben.In diesem Forschungsvorhaben möchte ich die birationale Geometrie dieser Hurwitzräume untersuchen, insbesondere ihre Kodairadimension. Es gibt einige birationale Eigenschaften wie Rationalität, Unirationalität, rationaler Zusammenhang oder Unigeregeltheit, welche negative (d.h. minimale) Kodairadimension implizieren. Ich möchte mich jedoch auf den anderen Extremfall von maximaler Kodairadimension konzentrieren, was nichts anderes bedeutet als von allgemeinem Typ zu sein. Das wegweisendes Resultat von Harris und Mumford hat dies für g größer 23 gezeigt. In späteren Arbeiten wurde dieses Ergebnis verschärft und verallgemeinert, insbesondere durch Hinzunahme von markierten Punkten. In meiner Doktorarbeit habe ich diese Theorie auf einige naheliegende Unterräume des Modulraums der Kurven vom Geschlecht g verallgemeinert, insbesondere auf den Modulraum der nodalen Kurven und den Modulraum von hyperelliptischen Kurven mit markierten Punkten.Um Resultate für die Hurwitzschemata zu erhalten, wird eine genaue Untersuchung ihrer Singularitäten und die Berechnung ihrer kanonischen Klassen essentiell sein. Ich gehe auch davon aus, dass die Betrachtung von Brill-Noether-Theorie auf diesen Räumen sehr interessant sein wird. Allerdings ist es unwahrscheinlich, dass sich ein einheitliches Ergebnis für beliebige verzweigte Überlagerungen von Kurven finden lässt. Daher sollten einige vereinfachende Bedingungen gestellt werden. Ich möchte mich deshalb auf den Fall von verzweigten, zyklischen Galoisüberlagerungen von Kurven über den komplexen Zahlen beschränken.Später möchte ich meinen Fokus langsam auf einige Aspekte der abzählenden Geometrie verlagern. Dieses Gebiet wird stark durch die Gromov-Witten-Theorie beeinflusst, in der Hurwitzschemata eine zentrale Rolle spielen. Ich erwarte, dass ich hier stark von der Erfahrung und dem Fachwissen von Prof. Pandharipandes Forschungsgruppe an der ETH Zürich profitieren werde.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Gastgeber: Professor Dr. Rahul Pandharipande