Intrinsisch lockingfreie Formulierungen für Probleme der Strukturmechanik

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Manfred Bischoff
• Fachliche Zuordnung: Angewandte Mechanik, Statik und Dynamik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 452589815

Im Zusammenhang mit der numerischen Lösung von Problemen der Strukturmechanik bezeichnet der Begriff Locking das Phänomen einer suboptimalen Konvergenzrate im präasymptotischen Bereich, wobei die Größe dieses präasymptotischen Bereichs von einem Parameter, z. B. der Schlankheit einer Schale, abhängt. Locking äußert sich in zu kleinen Verschiebungen sowie oszillierenden, parasitären Spannungen in der numerischen Lösung.Das Problem ist bereits seit den Anfängen der Finite-Elemente-Methode (FEM) bekannt, tritt aber auch bei anderen Diskretisierungsmethoden, z.B. netzfreien Verfahren, Kollokationsmethoden und der isogeometrischen Variante der FEM auf. Die Ursache für Locking ist nämlich kein Spezifikum der FEM, sondern eine intrinsische Eigenschaft des physikalischen Modells und der Differentialgleichungen, mit denen es formuliert ist. Trotz der enormen Anzahl an Publikationen zu diesem Thema gibt es immer noch zahlreiche offene Fragen. Insbesondere besteht das Problem, dass Methoden zur Beseitigung von Locking, wie reduzierte Integration und gemischte Methoden, zwar für viele Anwendungsgebiete und Diskretisierungsverfahren zur Verfügung stehen, sich aber nicht direkt auf andere Diskretisierungsverfahren übertragen lassen. In der Literatur findet man Methoden zur Beseitigung von Locking meist im Kontext der FEM. Für neue Diskretisierungsverfahren, z.B. isogeometrische Elemente mit T-Splines, müssen neue Methoden entwickelt werden.Das Ziel des geplanten Forschungsprojekts ist die Entwicklung von Methoden, bei denen Locking nicht auf Ebene der Diskretisierung beseitigt, sondern a priori bei der mathematischen Formulierung des zugrundeliegenden Problems vermieden wird. Dadurch werden eine spezielle Wahl von Ansatzräumen oder spezielle Integrationsregeln bei der Diskretisierung überflüssig. Wenn dies gelingt, ist die eigentliche Ursache für Locking vermieden, das Problem ist intrinsisch lockingfrei und die Anwendung jedes beliebigen Diskretisierungsverfahrens führt zu lockingfreien Ergebnissen.Es werden dabei methodisch zwei unterschiedliche Strategien verfolgt: erstens, eine hierarchische Reparametrisierung der Feldgleichungen und zweitens, die so genannte "Mixed-Displacement-Methode", bei der die Räume für bestimmte physikalische Größen (z.B. Verzerrungen) mithilfe von speziell konstruierten Differentialoperatoren aus Hilfsgrößen so berechnet werden, dass Locking a priori vermieden wird. Die prinzipielle Validität beider Ansätze ist bereits bestätigt, es sind aber noch viele wichtige Fragen zu beantworten und Probleme zu lösen, bevor diese Methoden als allgemein tauglich bezeichnet werden können. Dies betrifft unter anderem Erfüllung besonderer Nebenbedingungen, Anforderungen an die Kontinuität der Ansätze, eine hierarchische Reparametrisierung zur Vermeidung von Membranlocking bei Schalen, die Erweiterung der bisherigen Arbeiten auf volumetrisches Locking und die Validierung für unstrukturierte Diskretisierungen und verzerrte Netze.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen