Nichtlokale Randwertaufgaben: Indextheorie und semiklassische Asymptotik

• Antragsteller: Professor Dr. Elmar Schrohe
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 448686592

Nichtlokale Probleme stellen sich in vielen Bereichen der Mathematik sowie ihren Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Im Rahmen dieses Antrags interessieren wir uns für nichtlokale Randwertaufgaben im Zusammenhang mit Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten. Bei diesen Problemen sind sowohl der Operator im Inneren als auch die Randoperatoren Elemente von Operatoralgebren, die von (Pseudo-)Differentialoperatoren auf der Mannigfaltigkeit und sogenannten 'Shift-Operatoren' erzeugt werden, wobei die Shift-Operatoren durch die Wirkung einer Gruppe von Diffeomorphismen gegeben sind. Nichtlokale Probleme dieses Typs tauchen in der Plasmaphysik auf, in der Theorie der Verbundmaterialien in Luft- und Raumfahrt, in optischen Systemen mit zweidimensionaler Rückkopplung etc. Sie sind auch aus Sicht der nichtkommutativen Geometrie von Interesse, weil die Symbole dieser Operatoren selbst nichtkommutative Algebren bilden. Wir beabsichtigen, nichtlokale elliptische und hyperbolische Randwertaufgaben zu betrachten. Ziel ist (i) die Untersuchung der analytischen Aspekte (d.h. die Entwicklung eines geeigneten Elliptizitätsbegriffs, der die Fredholmeigenschaft nach sich zieht), (ii) die Herleitung von Indexformeln mit Hilfe von Methoden aus Topologie und nichtkommutativer Geometrie und (iii) die Bestimmung der Asymptotik hyperbolischer Probleme mit Methoden der semiklassischen Analysis.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Partnerorganisation: Russian Foundation for Basic Research, bis 3/2022
• Kooperationspartner: Professor Dr. Anton Yurievich Savin, bis 3/2022