Evolutionsgleichungen: Eingangsfunktionen und Stabilität

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Birgit Jacob; Professor Dr. Felix Schwenninger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 445241640

Evolutionsgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems, das von einem Anfangszustand und einem gegebenen Eingang abhängt. Das vorliegende Projekt behandelt Evolutionsgleichungen in unendlich-dimensionalen Zustandsräumen. Der Fokus liegt hierbei auf unbeschränkten Eingangsoperatoren und möglichst schwachen Annahmen an den Raum der Eingangsfunktionen. Ein natürliches Beispiel eines solchen Raumes, in dem Standardmethoden nur begrenzt zur Verfügung stehen, bilden die wesentlich beschränkten Funktionen.Die betrachtete Klasse von Evolutionsgleichungen umfasst eine umfangreiche Klasse von partiellen Differentialgleichungen mit Randsteuerungen. Aktuelle Forschungsergebnisse erfordern in der Regel beschränkte Eingangsoperatoren oder spezielle Wahlen der Eingangsräume, wie etwa den Raum der quadratisch-integrierbaren Funktionen. Häufig fällt die natürliche Wahl der Norm für die Eingänge aber nicht in diese Klassen. Beim Versuch, die bekannten Ergebnisse auf allgemeinere Räume zu übertragen, treten meist gravierende mathematische Probleme auf --- wie beispielsweise der Umstand, dass die Translation auf dem betrachteten Funktionenraum nicht mehr stark stetig ist. Dies führt bereits im linearen Fall zu verblüffenden, offenen Problemen, wie die Frage nach der Stetigkeit milder Lösungen eines Randsteuerungsproblems unter minimalen Annahmen an den Randoperator. Insbesondere ist die Behandlung dieser grundlegenden Fragestellungen ein wesentlicher Teil des Projektes. Diese Schwierigkeiten belegen auch, dass die systemtheoretische Untersuchung von Evolutionsgleichungen im Bezug auf notorische Funktionenräume noch nicht adäquat erkundet ist. Im Gegensatz dazu ist die entsprechende endlich-dimensionale Theorie, die im Falle der wesentlich beschränkten Eingänge mitunter auf Eduardo Sontag zurückgeht, gut verstanden.Das Ziel dieses Projektes ist es, sowohl die Wohlgestelltheit als auch die interne und externe Stabilitätsanalyse im Bezug auf oben erwähnte pathologische Funktionenräume weiter zu entwickeln. Hierbei liegt der Fokus auf dem Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, die trotz ihrer praktischen Relevanz zu grundlegende mathematischen Problemen in der bisher bekannten Theorie führen. Das Vorhaben soll in die Betrachtung von parabolischen und hyperbolischen Evolutionsgleichungen unterteilt werden. In beiden Fällen müssen zuerst die offenen Probleme im linearen Fall geklärt werden. Die daran anschließenden nicht-linearen Fragestellungen, wie beispielsweise die Fälle von bilinearen hyperbolischen und semilinearen parabolischen Gleichungen, sind jedoch ein erklärtes Ziel des Projektes.Um diese Ziele zu erreichen, planen wir klassische und moderne Themen der Operator- und der (unendlich-dimensionalen) Systemtheorie zu verbinden. Hierbei spielen unter anderm Werkzeuge, wie der Funktionalkalkül beschränkter, holomorpher Funktionen eine wesentliche Rolle.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen