Rigide und hyperuniforme Punktprozesse

• Antragsteller: Dr. Michael Andreas Klatt; Professor Dr. Günter Last
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Statistische Physik, Nichtlineare Dynamik, Komplexe Systeme, Weiche und fluide Materie, Biologische Physik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 444093014

Ein Punktprozess (zufälliges Punktfeld) ist hyperuniform, falls die Varianz der Anzahl der Punkte in einer großen Kugel langsamer als das Volumen wächst, d.h., falls diese Zahl im Vergleich mit einem Poissonprozess eine signifikant kleinere Fluktuation aufweist. Ein Punktprozess ist rigid, falls die (zufällige) Anzahl der Punkte in kompakten Mengen (fast sicher) durch die Konfiguration außerhalb der Menge festgelegt wird. Das lokale Verhalten solcher Prozesse kann dem schwach abhängiger (wie einem Poissonprozess oder einem Gibbsprozess mit kurzen Wechselwirkungen) sehr ähneln. Erst aus einer globalen Sicht zeigt sich eine reguläre geometrische Struktur, welche homogen wie ein Kristall werden kann. Beispiele hyperuniformer Punktprozesse sind perturbierte Gitter, der (die Eigenwerte einer Gaußschen Matrix beschreibende) Ginibre Prozess, einige andere determinantale Prozesse, stabile Teilmatchings eines Poissonprozesses und das Coulomb-Gas. Beispiele rigider Punktprozesse sind die bereits genannten Matchings, Gibbsprozesse mit weitreichenden Interaktionen, die Nullstellen Gaußscher ganzer Funktionen sowie einige determinantale Prozesse. Mittlerweile sind in Physik und anderen Naturwissenschaften viele Beispiele solcher exotischen Zustände gefunden und konstruiert worden in zufälligen Kugelpackungen, Quasikristallen, Quantengrundzuständen, und Materialien mit photonischen Bandlücken. Auch in der Mathematik stoßen diese Prozesse mittlerweile auf großes Interesse. Ein erstes Ziel dieses Projekts besteht darin, Voraussetzungen an einen Transport zwischen Punktprozessen (und allgemeineren zufälligen Maßen) zu finden, unter denen die Hyperuniformität erhalten bleibt. Dabei sollen abstrakte Mischungsvoraussetzungen formuliert und dann mit Hilfe moderner Punktprozessmethoden in konkret überprüfbare Kriterien überführt werden. Daraus sollten interessante neue Beispiele hyperuniformer Strukturen abgeleitet werden. Das zweite Ziel dieses Projekts ist die mathematische Analyse des Zusammenhangs zwischen Rigidität und Hyperuniformität innerhalb einer zu definierenden Klasse von Punktprozessen. Diese Klasse wird durch eine geeignete Kopplung zwischen stationären und Palmschen Verteilungen definiert. Sie soll auch dazu benutzt werden, den lokalen Grad von Anziehung und Abstoßung zu quantifizieren. Das dritte Ziel des Projekts besteht in der Weiterentwicklung eines Tests auf Hyperuniformität, der in der ersten Phase dieses Projekts entwickelt wurde. Er soll für eine größere Klasse von hyperuniformen Punktprozessen und für zufällige Mengen formuliert und theoretisch fundiert werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme