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Projekt
Geometrische Nichtlinearitäten in partiellen Differentialgleichungen für Cosserat-Elastizität: Wie sie die Regularität von Lösungen beeinflussen
Antragsteller
Professor Dr. Andreas Gastel
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2020
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441380936
Modelle für Schalen oder Festkörper in der Cosserat-Theorie für mikropolare Elastizität nehmen an, dass Mikrorotationen zur Energie beitragen. Wird der zugehörigen Term in den Gleichungen nicht linearisiert, so bilden die Euler-Lagrange-Gleichungen ein kritisch nichtlineares System partieller Differentialgleichungen. Dieses besteht aus Gleichungen, die das Kräftegleichgewicht beschreiben, gekoppelt mit Gleichungen für das Gleichgewicht der Drehmomente. Bis auf einen zusätzlichen Kopplungsterm stimmen letztere mit dem System für harmonische Abbildungen nach SO(3) überein, das aus der geometrischen Analysis und der mathematischen Physik bekannt ist. Für harmonische Abbildungen gibt es eine reichhaltige Regularitätstheorie, einschließlich interessanter Resultate über die Struktur von Singularitäten. Weil das Gleichungssystem für harmonische Abbildungen eine dominante Rolle in den oben beschriebenen Cosserat-Modellen spielt, sind interessante Implikationen für mögliche Singularitäten in Cosserat-Festkörpern und -Schalen zu erwarten. Auf der Basis erster Regularitätssätze des Bewerbers und Neff, und von Beispielen für singuläres Verhalten von Cosserat-Festkörpern vom Bewerber und Hüsken aus der ersten Phase des Schwerpunktprogramms, werden wir Methoden der Regularitätstheorie in Richtung realistischerer Szenarien weiterentwickeln. Dazu gehören Modelle, die mehr Parameter zulassen als die bisher benutzen "Ein-Konstanten-Approximationen". Das wird neue Argumente erfordern, denn die strukturelle Ähnlichkeit zu Systemen vom Typ harmonischer Abbildungen wird deutlich schwächer sein als bisher. Es ist nicht klar, ob die existierenden Methoden stark genug sind, um die allgemeineren Gleichungen zu behandeln. Dazu gehört auch die Untersuchung von Randbedingungen, die für Anwendungen nützlich sind, wozu sowohl feste als auch freie Teile des Randes gehören. Auch für harmonische Abbildungen wurde für dieses Szenario noch keine Randregularität bewiesen. Schließlich hoffen wir auch, dass Regularitätsabschätzungen helfen können, die Existenz von Minimierern in Cosserat-Modellen für solche Wahlen der Parameter zu zeigen, für die sie noch unbekannt ist.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
