Stochastische Aspekte geophysikalischer Gleichungen

• Antragsteller: Dr. Martin Saal
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 429483464

In diesem Projekt sollen stochastische Varianten der Surface Quasi-Geostrophic Equation und der Primitive Equations, beides zentrale Gleichungen aus dem Gebiet der geophysikalischen Fluiddynamik, untersucht werden. Durch die Surface Quasi-Geostrophic Equation wird die Temperatur am Rand eines schnell rotierenden Fluids beschrieben, sie findet unter anderem im Zusammenhang mit der Bildung von Warm- und Kaltfronten Anwendung, und die Primitive Equations sind ein fundamentales System zur Beschreibung der Dynamik der Atmosphäre und von Ozeanen, und sie werden insbesondere im Bereich der Wettervorhersage genutzt. Diese Gleichungen werden mit stochastischen Daten betrachtet, das heißt, mit Anfangswerten und äußeren Kräften, die als Rauschen gegeben sind, und für die Surface Quasi-Geostrophic Equation wird zusätzlich der Fall einer stochastischen statt deterministischen Diffusion behandelt. Im Mittelpunkt steht dabei die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, aber auch das Verhalten von Lösungen im Falle verschwindender Viskosität soll untersucht werden. Die wichtige Rolle dieser Gleichungen in geophysikalischen Anwendungen ist die wesentliche Motivation, neben dem rein mathematischen Interesse an stochastischen partiellen Differentialgleichungen, um sich intensiv mit ihnen in diesem Projekt auseinander zu setzen. Bei der Modellierung geophysikalischer Systeme werden stochastische Terme genutzt, um Messunsicherheiten sowie numerische Unsicherheiten zu berücksichtigen, und es gibt bedeutende Beispiele für intrinsische stochastische Effekte. Ein Ziel des Projekts ist es, den Einfluss dieser stochastischen Terme besser zu verstehen und so die Robustheit der Modelle gegenüber solchen Störungen zu analysieren. Darüber hinaus stellen diese stochastischen Differentialgleichungen eine besondere mathematische Herausforderung dar, denn die Behandlung der auftretenden Nichtlinearitäten ist durch die zu erwartende niedrige Regularität der Lösungen sehr anspruchsvoll. In den letzten Jahren wurden neue Methoden eingeführt, mit denen derartige Probleme im Kontext parabolischer Gleichungen und für die Wellengleichung gelöst werden konnten. Der Einsatz dieser modernen Methoden wird nötig sein, um einige der Fragestellungen dieses Projekts zu beantworten, und daher ist eine Erweiterung ihrer Anwendungsbereiche auf Transportgleichungen am Beispiel der (inviscid) Surface Quasi-Geostrophic Equation ein weiteres Ziel. Als gastgebende Institution beteiligt sich die Scuola Normale Superiore (SNS) in Pisa, Italien, an diesem Projekt, die mit mehreren Forschungsgruppen für stochastische Analysis ein Zentrum in diesem Bereich ist. Der Gastgeber an der SNS, Franco Flandoli, ist ein weltweit bekannter Experte für stochastische Fluiddynamik und Transportgleichungen, der sich in letzter Zeit ebenfalls geophysikalischen Problemen zugewandt hat. Somit bietet die SNS ideale Bedingungen, um dort das Forschungsvorhaben erfolgreich abzuschließen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Italien
• Gastgeber: Professor Dr. Franco Flandoli