Das Arithmetische Fundamentale Lemma für den Drinfeld-Raum

• Antragsteller: Dr. Andreas Mihatsch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 428982207

Die Arithmetischen Fundamentalen Lemmata (AFL-Vermutungen) sind eine Familie neuartiger Vermutungen aus der arithmetischen Geometrie, d.h. der Schnittstelle von algebraischer Geometrie und Zahlentheorie. Vermutet werden bestimmte Identitäten zwischen Schnittzahlen auf Modulräumen p-divisibler Gruppen und Bahnintegralen auf p-adischen Lie-Gruppen. Insbesondere werden die AFL-Vermutungen über einem p-adischen lokalen Körper formuliert. Analog dem Fundamentalen Lemma von Langlands (bewiesen 2009 von Ngô) bilden sie die lokalen Bausteine für tiefliegende globale Aussagen, die die Zusammenhänge zwischen Zykeln auf Shimura-Varietäten und automorphen Darstellungen betreffen.Das erste Beispiel einer AFL-Vermutung wurde 2011 von Wei Zhang aus Vermutungen über unitäre Shimura-Varietäten abgeleitet und in niedriger Dimension bewiesen. Seitdem wurden, im Lokalen, im Globalen und auch für Funktionenkörper, verschiedene Varianten formuliert und ebenfalls in wesentlichen Fällen gezeigt. Insgesamt wurde dabei das Methodenspektrum der arithmetischen Geometrie substantiell erweitert, sodass die angesprochenen Lösungsansätze auch auf das Gesamtgebiet zurückstrahlen.In diesem Projekt möchte ich mich mit einer neuen AFL-Vermutung beschäftigen, die ich für den Drinfeld-Raum aufstelle. Die erste Besonderheit hierbei ist, dass bereits in niedriger Dimension ausgeartete Schnitte auftreten und untersucht werden können. Die zweite Besonderheit ist, dass Scholze-Weinstein eine einfache Beschreibung des Drinfeld-Raums bei unendlichem Level angegeben haben. Diese kann voraussichtlich verwendet werden, um die auftretenden Schnittzahlen näherungsweise zu berechnen. Mit beiden Aspekten trägt das Projekt zu einem besseren Verständnis der schnitttheoretischen Seite der AFL-Vermutungen bei.Für die Umsetzung des Projekts bieten die Arbeitsgruppen von Wei Zhang und Zhiwei Yun am MIT ein ideales Umfeld. Auch freue ich mich auf wertvolle mathematische und berufliche Anregungen aus dem lebhaften wissenschaftlichen Ambiente Bostons.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Wei Zhang