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SFB 1442:  Geometrie: Deformationen und Rigidität

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung seit 2020
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 427320536
 
Ausgehend von ihren historischen Wurzeln hat sich die Geometrie in der modernen Mathematik zu einem zentralen Themengebiet entwickelt und stellt darüber hinaus auch Werkzeuge für andere mathematische Disziplinen bereit. Viele mathematische Probleme sind geometrischen Ursprungs. Es gibt aber auch mathematische Probleme, die, obwohl sie nicht ursprünglich geometrischer Natur sind, geometrisch umformuliert und dadurch erfolgreich studiert werden können. Das Forschungsprogramm unseres SFBs geht eine Vielzahl mathematischer Probleme durch einen geometrischen Ansatz an, in dem die Probleme im Blickwinkel zweier sich ergänzender, scheinbar antagonistischer Pole betrachtet werden: Deformationen und Rigidität. Deformationen eines mathematischen Objektes sind stetige Familien dieser Objekte. Solche Deformationen gibt es nicht nur von geometrischen Objekten, sondern auch von vielen anderen mathematischen Objekten. Im Gegensatz dazu bezeichnet ein Rigiditäts-Phänomen eine Situation, in der im Wesentlichen keine Deformationen möglich sind: zu mathematischen Objekten assoziierte Eigenschaften oder Größen heißen rigide, wenn sie unter allen sinnvollen Deformationen erhalten bleiben. In einer rigiden Situation sind Objekte, die approximativ gleich sind, oft schon identisch, wodurch Rigiditäts-Resultate wichtig für Klassifikationen sind. Die Dichotomie von Deformationen und Rigidität tritt in vielen geometrischen Zusammenhängen auf, insbesondere im Langlands Programms, im Studium von positiv gekrümmten Mannigfaltigkeiten, von partiellen Differentialgleichungen, von K-Theorie, in der Gruppentheorie und in der Theorie der C*-Algebren. Diese Forschungsgebiete bilden die Grundpfeiler unseres Forschungsprogramms. Es sind Gebiete, in denen sich die Forschung international rapide weiterentwickelt. Deformationen und Rigidität werden in diesen Gebieten für gewöhnlich unabhängig voneinander betrachtet. Der Ansatz unseres SFBs hingegen ist es, sie als starkes Leitmotiv zu nutzen. In der letzten Förderperiode hat dieser Ansatz zu starken Resultaten und vielen Wechselwirkungen zwischen den jeweiligen Projekten geführt, die auch Forschende aus verschiedenen mathematischen Teildisziplinen miteinander verknüpfen. Aufbauend auf die neuen Perspektiven, die sich durch diesen Ansatz via Deformationen und Rigidität ergeben haben, möchten wir in der beantragten zweiten Förderperiode fundamentale Einsichten und Resultate zur mathematischen Grundlagenforschung beitragen. Zusammenfassend kann das Ziel unseres Forschungsprogramms wie folgt beschrieben werden: Wir wollen die einheitliche Perspektive von Deformationen und Rigidität benutzen, um tiefe Methoden und Einsichten zwischen verschiedenen mathematischen Gebieten zu transportieren und dadurch wissenschaftliche Durchbrüche zu erzielen. Dies betrifft insbesondere die Gebiete des Langlands Programms, der positiven Skalarkrümmung, der partiellen Differentialgleichungen, K-Theorie, Gruppen Theorie und die Theorie der C*-Algebren.
DFG-Verfahren Sonderforschungsbereiche
Internationaler Bezug Großbritannien

Laufende Projekte

Abgeschlossene Projekte

Antragstellende Institution Universität Münster
 
 

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