Algebraische Bordismusspektren: Berechnungen, Filtrierungen, Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Oliver Röndigs
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 426008713

Die Projekte gehören zum Gebiet der motivischen Homotopietheorie (auch A1-Homotopietheorie genannt), gelegen an der Schnittstelle von algebraischer Geometrie und Homotopietheorie. Es handelt sich um eine relativ neue und sich zügig entwickelnde mathematische Disziplin, deren Grundlagen vor etwa zwanzig Jahren gelegt wurden. Trotz ihrer Jugend führte die motivische Homotopietheorie bereits zu bahnbrechenden Erkenntnissen und Innovationen, und zwar sowohl in der algebraischen Geometrie, als auch in der klassischen Homotopietheorie. Als Beispiele seien Voevodskys Beweise der Milnor- und Bloch-Kato-Vermutungen, Isaksens neue Resultate zu stabilen Homotopiegruppen von Sphären, und die Verwendung von Slice-Filtrierungen (etwa durch Hill, Hopkins, und Ravenel zur Analyse der Kervaire-Invariante) genannt. Morels Berechnung der nullten stabilen Homotopiegruppe der motivischen Sphären belegt die zentrale Relevanz des Grothendieck-Witt-Ringes der quadratischen Formen über einem Körper in der motivischen Homotopietheorie.Bereits in der klassischen Homotopietheorie wurde eine überaus reichhaltige Vielfalt von Methoden zur Analyse von Kohomologietheorien entwickelt. Ein Beispiel liefert die chromatische Homotopietheorie, basierend auf der Struktur des komplexen Bordismusspektrums MU und daraus abgeleiteter Kohomologietheorien. Das algebraische Analogon von MU ist Voevodskys algebraisches Bordismusspektrum MGL. Es wurde bereits intensiv studiert. Insbesondere gaben Levine und Morel eine geometrische Präsentation eines Teils der durch MGL dargestellten Kohomologietheorie, und verschiedene Arbeiten wandten algebraischen Bordismus zur Untersuchung der motivischen stabilen Homotopiekategorie und zum Studium algebraischer Varietäten (vermittels charakteristischer Klassen und orientierter Kohomologietheorien) an. Im Gegensatz zur Situation in der klassischen Homotopietheorie übersieht der Zugang via MGL wichtige Teile der Information, und zwar die durch quadratische Formen gegebene Orientierung. Dies legt nahe, algebraische Bordismusspektren zu betrachten, die diese quadratischen Orientierungen berücksichtigen.Innerhalb dieser Projekte beabsichtigen wir, die algebraischen Bordismusspektren MSL (orientierter algebraischer Bordismus), MSp (symplektischer algebraischer Bordismus), sowie das motivische Sphärenspektrum (gerahmter algebraischer Bordismus) zu untersuchen, sowie deren Beziehungen untereinander und zu MGL. Nebst Spektralsequenzen, basierend auf zusammenhängenden und effektiven Überlagerungen von Witt-Theorie und hermitescher K-Theorie, werden explizite geometrische Konstruktionen zu den zu verwendenden Methoden gehören. Des weiteren planen wir, Bordismus-induzierte Kohomologietheorien (wie algebraische Brown-Peterson-Kohomologie und algebraische Morava K-Theorie) auf spezifische algebraische Varietäten anzuwenden, insbesondere auf projektive homogene Varietäten, zum besseren Verständnis kohomologischer Invarianten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Partnerorganisation: Russian Science Foundation, bis 3/2022
• Kooperationspartner: Alexey Ananyevskiy, Ph.D.