Quasilineare symmetrisch hyperbolisch-hyperbolische Systeme zweiter Ordnung, mit Anwendungen in der relativistischen Fluiddynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Heinrich Freistühler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423781085

Das Vorhaben charakterisiert und untersucht zwei Klassen quasilinearer Systeme dissipativer partieller Differentialgleichungen, die sowohl bzgl. ihres Anteils der führenden zweiten als auch des Anteil erster Ordnung hyperbolisch sind. Anwendungen beider Klassen treten insbesondere in der dissipativen relativistischen Fluiddynamik (DRFD) auf. In der ersten Phase des Vorhabens wurden Strukturmerkmale identifiziert, die solche "symmetrisch hyperbolisch-hyperbolischen" Systeme in dem Sinne dissipativ machen, dass ihre Linearisierungen an homogenen Referenzlösungen Abklingen in L2- basierten Sobolevräumen zeigen; währen dieses Schrittes erweiterte sich der Gegenstandsbereich des Vorhabens, da diese Kriterien breitere Modellklassen erfassen, als wir erwartet hatten, insbesondere Modelle, die nicht unter die Kurzzeitexistenz-Theorie von Hughes, Kato und Marsden fallen. Das Ziel der für die zweite Phase des Vorhabens geplanten Arbeiten besteht darin, zeitasymptotische Stabilität in den quasilineaen Kontexten zu zeigen. Da wir nun die in der Hughes-Kato-Marsden-Bedingung formulierte Definitheit nicht mehr voraussetzen, wird es hierzu erforderlich sein, die Dissipativitätseigenschaft mit dem nach dem Vorbild von Taylor und Metivier anzuwendenden Pseudo- und Paradifferentialkalkül von Hörmander, Bony und Meyer zu kombinieren. Die erwarteten allgemeinen Ergebnisse sollten es erlauben, Sroczinskis Theoreme über die globale Existenz und das Langzeitverhalten von Lösungen bestimmter kausaler Beschreibungen der DRFD auf eine breite Klasse solcher Formulierungen ('relativistische Navier-Stokes-Gleichungen') auszudehnen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen