Numerische Homogenisierung nicht linearer und inelastischer Stoffgesetze im Tensor-Train-Format (TT-HOM)

• Antragsteller: Professor Dr. Matti Schneider
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 418247895

Moderne 3D-Bildgebende Verfahren wie Mikro-Computertomographie liefern Aufnahmen von Werkstoff-Mikrostrukturen mit extrem hohem Detailgrad. Um direkt auf diesen Bildern zu rechnen, haben sich auf regelmäßige Netze spezialisierte, numerische Verfahren etabliert. Dazu gehört die FFT-basierte Homogenisierung, welche die Aufstellung einer Steifigkeitsmatrix vermeiden und dennoch robust nicht lineare und inelastische Probleme behandeln kann.Handelsübliche Mikro-Computertomographen erzeugen Volumenbilder mit mehreren Milliarden Bildpunkten. Rechnet man auf diesen Bildern, muss man zum Einen den Lösungsvektor speichern und zum Anderen Stoffgesetze auswerten können. Ersteres ist eine Frage des Speicherplatzes und Zweiteres rückt die Rechenzeit in den Mittelpunkt.Konventionelle numerische Homogenisierungsmethoden stoßen an ihre Grenzen bei vielen Lastschritten, einer hohen Auflösung oder Parameterstudien bzw. Parameteridentifikation. Beispiele finden sich bei Kriechverhalten, Ermüdung, feinen Scherbändern in der Plastizität oder Schädigungs- und Bruchmechanik. Die mathematische Schwierigkeit liegt in der hohen Komplexität des Problems, welche durch (Anzahl der Freiheitsgrade)x(Anzahl der Lastschritte)x(Anzahl der Rechnungen) nach unten beschränkt ist.Der Antrag zielt auf eine geschickte Anwendung moderner Tensorkompressionsformate (wie dem Tensor-Train-Format) in der numerischen Homogenisierung auf Realdaten. Durch eine Niedrig-Rang-Darstellung lässt sich die Rechenkomplexität unter die scheinbare untere Grenze senken.Methodisch liegt der Kern zum Einen in der effizienten Kompression realer Mikrostrukturen sowie der Darstellung von Differential- und Integraloperatoren der Elastizität im Tensor-Train-Format. Zum Anderen ist die konkreten Anwendung auf Probleme der (nichtlinearen) Elastizität, Viskoelastizität und Elastoplastizität von zentraler Bedeutung. Insbesondere ist es notwendig, Raum-Zeit-Vorkonditionierer zu benutzen und einige Functional-Tensor-Train-Darstellungen auf nicht glatte Operationen zu erweitern.Ziel des Vorhabens ist die gleichzeitige Erfüllung der Anforderungen:- Berechnung effektiver Stoffgesetze für - komplexe Mikrostrukturen basierend auf Bilddaten - Werkstoff-spezifische Materialgesetze mit Geschichtsvariablen - multiaxiale Belastungspfade mit Lastwechsel - hohe Zyklenzahl - Nutzung von Tensor-Datenkompressionstechniken - Einbindung moderner nicht linearer GleichungslöserDer erwartete Erkenntnisgewinn des beantragten Projekts lässt sich in zwei Teilbereiche gliedern. Erstens wird durch die konsequente Nutzung von Kompressionsmethoden eine nachhaltige Methode geschaffen, um die Mikrostruktur- und Simulationsergebnisse überhaupt archivieren zu können. Zweitens ermöglichen Tensorapproximationsmethoden, bisher, aufgrund der Vielzahl an Freiheitsgraden und/oder Lastschritten schwer zu behandelnde Fragestellungen, anzugehen, z.B. Multiskalen-Ermüdungsrechnungen für Verbundwerkstoffe.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen