Moderne Perspektiven in der klassischen extremalen Kombinatorik

• Antragsteller: Professor Shagnik Das, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415310276

Obwohl die Extremale Kombinatorik eine relativ junge Disziplin ist, konnte sie sich in den letzten Jahrzehnten eines enormen Wachstums erfreuen. Dieses Wachstum wurde unter anderem durch zahlreiche Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik - der Analysis, Algebra, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und der theoretischen Informatik - vorangetrieben. Das fundamentale extremale Problem lautet wie folgt: Wie groß kann ein System sein, wenn es eine bestimmte Konfiguration nicht enthält. Im Teilgebiet der extremalen Mengenlehre sind die klassischen Resultate der Satz von Erdős-Ko-Rado, sowie der Satz von Sperner, die jeweils die größte k-Schnittfamilie bzw. die größte Antikette bestimmen.Seit ihrer Entdeckung haben diese beiden Sätze einen immensen Einfluss in der Forschung gehabt und zu unzähligen Publikationen inspiriert. Wir beabsichtigen drei Verallgemeinerung zu untersuchen die in den vergangen Jahren einige Fortschritte erzielt haben. Die erste, die sogenannte Erdős-Rothschild Theorie, ist kombinatorischer Art und verbessert klassische Resultate indem es sie auf ein mehrfarbiges Szenario erweitert. Die zweite ist eher probabilistisch und untersucht in was für einem Ausmaß klassische Resultate im sogenannten "sparse random Setting" halten. Ein zentraler Baustein in vielen solchen Resultaten ist das sogenannte Übersättigungsphänomen (supersaturation phenomenon), welches zeigt, dass, sobald die extremale Schwelle überschritten ist, nicht nur eine, sondern viele verbotene Konfiguration auftauchen müssen.Auf neusten Ergebnissen aufbauend hoffen wir Ergebnisse zu erzielen und Methoden zu entwickeln, die sich als wertvoll für unser Fachgebiet erweisen werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen