Regularität für Integro-Differentialoperatoren

• Antragsteller: Dr. Jamil Chaker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 410407063

Gegenstand dieses Projektes ist die mathematische Untersuchung von Gleichungen, welche die diskontinuierliche Bewegung von Teilchen beschreiben. Solche Gleichungen sind von fundamentaler Bedeutung für verschiedene Gebiete der Wissenschaft, wie z.B. die mathematische Physik oder Biologie. Die 1872 entwickelte Boltzmann-Gleichung gilt als Musterbeispiel für die Beschreibung von Partikeln in einem Medium (z.B. einem Gas).In der kinetische Gastheorie wird angenommen, dass sich Gase aus einer großen Anzahl einzelner Teilchen zusammensetzen, die permanent in Bewegung sind und miteinander kollidieren. Die Theorie erklärt die Eigenschaften von Gasen durch die Bewegungsvorgänge ihrer Teilchen. Solche und andere physikalische Systeme lassen sich mathematisch durch Gleichungen modellieren, deren Lösungen Funktionen sind. Bei der Boltzmann-Gleichung beschreibt die gesuchte Funktion die statistische Verteilung von Teilchen in einem Medium in Abhängigkeit von Zeit, Raum und Geschwindigkeit. Diese Gleichung ist eine sogenannte partielle Integro-Differentialgleichung (pIDGL), in der die Verteilung durch zwei mathematische Operatoren beschrieben wird. Zum einen wird die gesuchte Funktion aufgrund der vorkommenden Ableitungen durch Werte in ihrer Umgebung beschrieben. Zum anderen werden, bedingt durch die Integraloperatoren, Funktionswerte im ganzen Raum berücksichtigt. In der Boltzmann-Gleichung tritt diese Nichtlokalität durch Kollisionen der einzelnen Teilchen auf. In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit einer Klasse von kinetischen pIDGL, bei der die Boltzmann-Gleichung als Spezialfall auftritt. Die Verallgemeinerung der Gleichung erfolgt durch die Betrachtung einer größeren Klasse von nichtlokalen Kollisionen, die sich mathematisch durch sogenannte nichtlokale Operatoren beschreiben lassen. Wir untersuchen Eigenschaften des Kollisionsterms und Lösungen zu pIDGL. Da Lösungen solcher Gleichungen in nur wenigen Ausnahmefällen explizit angegeben werden können, ist die Bestimmung qualitativer Eigenschaften der Lösungen von zentraler Bedeutung. Eine wichtige Charakteristik von Lösungen ist die Anzahl der stetigen Ableitungen der Funktion und damit die Zuordnung zu gewissen Funktionenräumen. Dieses Forschungsprojekt beabsichtigt den Nachweis der Eigenschaft, dass Lösungen kinetischer pIDGL, unter gewissen Beschränktheitsbedingungen an die hydrodynamischen Größen, unendlich oft stetig differenzierbar sind. Ein weiteres Ziel ist es nachzuweisen, dass der Integralausdruck in der pIDGL für eine bestimmte Klasse von Integrationskernen vergleichbar zu bekannten Objekten ist, welche bei Ableitungen fraktioneller Ordnung auftreten (Sobolev-Slobodeckij Halbnorm). Im Rahmen des Forschungsprojektes wollen wir zudem Fortschritte zum Nachweis eines theoretischen Hilfsmittels in der Regularitätstheorie singulärer nichtokaler Operatoren erzielen (Aleksandrov-Bakelman-Pucci Maximum Prinzip).

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Luis Enrique Silvestre, Ph.D.