Beschleunigung von Newton-Typ-Verfahren bei kritischen Lösungen

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Fischer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 409756759

Newton-Typ-Methoden sind auf Grund ihrer oft schnellen Konvergenz eine der zentralen Techniken für die effiziente Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen und verwandten Problemen. Gegenwärtige Forschung zu diesen Methoden zielt auf die Erweiterung ihrer Anwendbarkeit auf neue oder schwierigere Problemklassen. Eine wichtige Klasse sind dabei Probleme mit nichtisolierten Lösungen. Lokal schnelle (superlineare) Konvergenz konnte für spezielle Newton-Typ-Methoden für Problemklassen mit nichtisolierten Lösungen gezeigt werden, falls eine Lipschitz-Fehlerschranke erfüllt ist. Zu diesen Methoden zählen stabilisierte SQP-Techniken, Levenberg-Marquardt-Algorithmen und die neuere LP-Newton-Methode.Es ist jedoch allgemein anerkannt, dass Newton-Typ-Verfahren beim Auftreten von nichtisolierten Lösungen die starke Tendenz besitzen, gegen eine Lösung zu konvergieren, für die keine Lipschitz-Fehlerschranke gilt. Solche Lösungen werden als kritisch bezeichnet. Selbst neuere Ansätze zur Globalisierung solcher Newton-Typ-Verfahren sehen sich einer prinzipiellen Schwierigkeit gegenüber. Sie sind oft nicht in der Lage, Bereiche zu verlassen, die zu kritischen Lösungen führen. Dadurch geht die schnelle Konvergenz von Newton-Typ-Verfahren meist verloren, ebenso wie die Vorteile der speziellen Newton-Typ-Verfahren für Probleme mit nichtisolierten Lösungen.Deshalb besteht das Hauptanliegen des Projektes in der Entwicklung und Fundierung von neuen Techniken zur Erreichung einer schnellen lokalen Konvergenz trotz des Vorhandenseins von kritischen Lösungen. Um dies zu realisieren, wollen wir bestimmte grundlegende Ziele verwirklichen. Für Optimalitätssysteme restringierter Optimierungsprobleme mit nicht eindeutigen Multiplikatoren wollen wir eine neue Technik entwickeln, die mit vernünftigem Aufwand Multiplikatoren so verändert, dass sie sich von kritischen Multiplikatoren hinreichend weit entfernen. Für nichtlineare Gleichungssysteme mit einer allgemeineren Struktur sollen kritische Lösungen betrachtet werden, die einer 2-Regularitätsbedingung genügen. Diese ziemlich schwache Forderung führt zu einem strukturierten Konvergenzmuster, das uns speziell die lokale Identifikation eines Unterraums ermöglichen soll, in dem der Verlust der superlinearen Konvergenz stattfindet. Üblicherweise hat dieser Unterraum eine kleine Dimension. Das wollen wir ausnutzen, um neue algorithmische Techniken mit dem Ziel der lokal schnelle Konvergenz zu entwickeln. Dazu sollen auch algorithmische Möglichkeiten gefunden werden, die die Konvergenz gegen eine kritische Lösung detektieren. Ein Forschungsziel mit großer Bedeutung für unser Hauptanliegen ist die Einbettung der lokalen Techniken in geeignete Globalisierungsmethoden, so dass implementierbare Algorithmen entstehen. Damit einher gehen Validierung, Bewertung und Vergleich der praktischen Umsetzung der neuen Techniken und Algorithmen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Partnerorganisation: Russian Foundation for Basic Research
• Kooperationspartner: Professor Dr. Alexey Izmailov