Ausbreitung freier Ränder unter Einfluss von Rauschen: Analysis und Numerik stochastischer degeneriert parabolischer Gleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Günther Grün
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 397495103

In den letzten Jahren veröffentlichten Barbu, Da Prato, Gess, Kim, Röckner und andere eine Reihe von Arbeiten zu Existenz und globaler Nichtnegativität bei stochastischen Versionen degeneriert parabolischer Gleichungen zweiter Ordnung. Insbesondere konnte endliche Ausbreitung des Trägers von Lösungen zu stochastischen Poröse-Medien-Gleichungen gezeigt werden - es handelt sich also um Probleme mit freiem Rand. In diesem Projekt soll analytisch und numerisch der Einfluss von Rauschen auf die Ausbreitung freier Ränder bei stochastischen Varianten degeneriert parabolischer Gleichungen untersucht werden. Es knüpft an unsere qualitativen Resultate zu endlicher Ausbreitung und Wartezeitenphänomenen bei stochastischen Poröse-Medien Gleichungen, unsere Existenzresultate für stochastische Dünne-Filme-Gleichungen und unsere Konvergenzresultate für numerische Schemata zu stochastischen Poröse-Medien Gleichungen an.Speziell sollen stochastische Poröse-Medien-Gleichungen, stochastische parabolische p-Laplace-Gleichungen und stochastische Dünne-Filme-Gleichungen betrachtet werden. Wir interessieren uns für fast sicher global nichtnegative Lösungen und konzentrieren uns daher auf multiplikatives Rauschen, das über Quell- oder konvektive Terme in die Gleichungen eingeht. Stochastische Dünne-Filme-Gleichungen wurden hergeleitet, um den Einfluss thermischer Fluktuationen auf Tropfenausbreitung bzw. Entnetzung instabiler Flüssigkeitsfilme zu modellieren. Gerade auf Nano-Skalen zeigt sich, dass stochastische Dünne-Filme-Gleichungen Phänomene erfassen können, die sich einer deterministischen Beschreibung entziehen.Analytisch ist die Untersuchung von Gleichungen zweiter Ordnung ein wichtiger erster Schritt. Denn für deterministische degeneriert parabolische Gleichungen gibt es analytische Methoden, mit denen sich vereinheitlichend optimale Resultate zu Ausbreitungsraten und zur Dauer von Wartezeiten für große Klassen von Gleichungen zweiter und höherer Ordnung herleiten lassen. Entsprechend erwarten wir bereits aus der Analysis stochastischer Gleichungen zweiter Ordnung richtungweisende Erkenntnisse. Für diese Gleichungen streben wir quantitative Abschätzungen für die Erwartungswerte von Ausbreitungsraten und Dauer von Wartezeiten an. In jenen Fällen, in denen endliche Ausbreitung und das Auftreten von Wartezeitenphänomenen noch offen sind, sollen zunächst qualitative Resultate gezeigt werden. Konzeptionell verfolgen wir den Ansatz, Energiemethoden auf stochastische PDG zu übertragen, die auf Funktionalungleichungen oder Differentialungleichungen beruhen.Im Falle der stochastischen Dünne-Filme-Gleichung, für die bislang nur Existenzresultate für strikt positive Lösungen bekannt sind, studieren wir konvergente numerische Verfahren und nutzen diese für Monte-Carlo Simulationen, aus denen empirisch Aussagen über den Einfluss des Rauschens auf die Ausbreitung makroskopischer Tropfen gewonnen werden sollen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Österreich
• Kooperationspartner: Professor Dr. Nicolas Dirr; Professor Dr. Julian Fischer