Algorithmische Lösungsansätze in der mengenwertigen Optimierung

• Antragstellerin: Professorin Dr. Gabriele Eichfelder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392195690

Die mengenwertige Optimierung ist ein aktuelles und schnell fortschreitendes Gebiet der mathematischen Optimierung. Die intensive Forschung in diesem Bereich wird durch wichtige Anwendungsgebiete wie etwa dem Finanzwesen (dynamische multivariate Risikomaße) oder der robusten Optimierung (Unsicherheiten bezüglich der Realisierung von Entscheidungsvariablen) motiviert. Die wesentliche Herausforderung ist, dass die Werte der Zielfunktionen nun Mengen sind, die für praktisch relevante Optimalitätsbegriffe (bekannt als Mengenzugang) als Ganzes miteinander verglichen werden müssen. Dies hat zudem zur Folge, dass die Menge der optimalen Lösungen im Allgemeinen unendlich ist und es das Ziel sein muss, gute Approximationen dieser Menge zu bestimmen. Es gibt eine stetig wachsende Zahl an Publikationen in der Mengenoptimierung basierend auf dem Mengenzugang, die sich jedoch vor allem auf theoretische Aspekte konzentrieren. Numerische Lösungsverfahren gibt es nur sehr eingeschränkt, etwa nur für lineare Probleme oder nur auf dem direkten Vergleich der Werte der Zielfunktion beruhend. Mit diesem Projekt ist es unser Ziel, wesentliche Beiträge zur Weiterentwicklung der Mengenoptimierung zu liefern, indem wir theoretische Resultate entwickeln, die direkt für die Entwicklung eines Algorithmus genutzt werden. Es wird ein völlig neuer Ansatz gewählt bei dem geeignete multikriterielle Optimierungsprobleme (MOPs) formuliert werden, die dann mit Hilfe parameterabhängiger skalarer Ersatzprobleme gelöst werden. Wir werden keine Linearität für die mengenwertigen Probleme fordern, doch werden starke Voraussetzungen etwa an die Glattheit nötig sein, damit die resultierenden Ersatzprobleme numerisch lösbar sind. Weitere wesentliche Beiträge zur Forschung an mengenwertigen Problemen und insbesondere deren Lösungsverfahren wird die Untersuchung von Qualitätskriterien für die Bewertung von Approximationen im Bildraum sein (nun Vereinigung von Mengen), sowie die geeignete Erweiterung von bekannten Konzepten wie lokale und näherungsweise Lösungen für die Mengenoptimierung. Die Grundidee unseres Zugangs ist die Formulierung hinreichender Bedingungen mit Hilfe von Minimalwertfunktionen. Darauf aufbauend werden neue MOPs konstruiert, wobei die Auswahl der Zielfunktionen adaptiv im Laufe des Algorithmus erfolgt. Die auftretenden MOPs werden mittels parameterabhängiger Ersatzprobleme gelöst, deren Parameter ebenfalls adaptiv gesteuert werden, um numerisch effizient gute Approximationen der Lösungsmenge der mengenwertigen Probleme zu generieren. Schwierigkeiten wie Nichtkonvexität der mengenwertigen Probleme übertragen sich direkt auf die skalarwertigen Ersatzprobleme, was die Klasse der Probleme, die praktisch gelöst werden können, einschränkt. Die theoretischen Resultate werden jedoch für eine weite Klasse von Mengenoptimierungsproblemen signifikant neue Ansätze liefern und einen wesentlichen Beitrag für weitere theoretische Untersuchungen wie Optimalitätsbedingungen liefern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen