Quantenautomorphismen von Graphen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Ziel des Projekts war es, Symmetrien von endlichen Graphen im Rahmen einer “Quantenmathematik” zu untersuchen. Unter einem Graphen versteht man ein Objekt, das aus Punkten (“Vertices”) besteht, die jeweils durch Linien (“Kanten”) verbunden sein können - oder auch nicht. Ein solcher Graph kann nun Symmetrien besitzen: Er könnte beispielsweise durch eine Spiegelung oder eine Drehung in sich selbst überführt werden. Etwas allgemeiner werden die Symmetrien eines Graphen durch seine Automorphismengruppe beschrieben, also durch die Menge all jener Permutationen der Vertices, die die Verbindungen durch Kanten erhalten. In der Quantenmathematik kennen wir jedoch mehr Möglichkeiten zu permutieren -wir können “quantenpermutieren”. So erhalten wir a priori mehr Symmetrien: nämlich Quantensymmetrien. Die Quantensymmetrien eines Graphen werden durch eine Quantengruppe beschrieben: seine Quantenautomorphismengruppe. Diese Objekte werden erst seit wenigen Jahren untersucht und wir wissen noch sehr wenig darüber. In unserem Projekt haben wir viele neue Erkenntnisse über Quantensymmetrien von Graphen gewonnen. So haben wir in einer recht großen Klasse bestimmt, ob es wirklich einen Vorteil bringt, die Vertices eines gegebenen Graphen quantenpermutieren zu können - oder ob all seine Symmetrien bereits durch seine Automorphismengruppe beschrieben werden. Zudem haben wir Quantenautomorphismengruppen konkret berechnet. In diesem Zusammenhang haben wir u.a. verschiedene computerbasierte Werkzeuge entwickelt, mit denen man einen gegebenen Graphen auf die Existenz von echten Quantensymmetrien testen kann. Zudem haben wir probabilistische Aussagen über Bäume treffen können (die eine Unterklasse der Graphen bilden): Wählt man zufällig einen Graphen, der zudem ein Baum ist, so wird dieser fast immer Quantensymmetrien besitzen. Wir waren auch an überraschenden, neuartigen Entwicklungen beteiligt, die das Konzept von Quantensymmetrien von Graphen mit der Quanteninformationstheorie verbinden und dabei aufzeigen, dass Methoden aus der Quantenmathematik letztlich auch mehr Erkenntnisse über die “klassische” Mathematik liefern. Es wird immer offensichtlicher, dass die Quantensymmetrie ein starkes und weitreichendes Phänomen darstellt. Da all unsere Untersuchungen der Grundlagenforschung zuzurechnen sind, ergeben sich keine sofort verwertbaren Anwendungen etwa in der Industrie. Es ist jedoch zu erwarten, dass die Quantenmathematik letztlich - mit Verzögerung - zu durchschlagenden Ergebnissen auch im Bereich der Anwendungen im Alltag führen wird. Mit unserem Projekt haben wir einen Beitrag zu einem ersten, fundamentalen Verständnis geleistet.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Quantum symmetries of graph C*-algebras. Canadian Mathematical Bulletin, Vol. 61(4), pages 848–864, 2018
Schmidt, Simon; Weber, Moritz
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The Petersen graph has no quantum symmetry. Bulletin of the London Mathematical Society, Vol. 50, Issue 3, pages 395–400, June 2018
Schmidt, Simon
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Existence of quantum symmetries for graphs on up to seven vertices: a computer based approach. 15 pages + appendix (2019)
Eder, Christian; Levandovskyy, Viktor; Schanz, Julien; Schmidt, Simon; Steenpass, Andreas; Weber, Moritz
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Uniformly vertex-transitive graphs. 17 pages (2019)
Schmidt, Simon; Vogeli, Chase; Weber, Moritz
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Almost all trees have quantum symmetry. Archiv der Mathematik, Vol. 115, 367–378, 2020
Junk, Luca; Schmidt, Simon; Weber, Moritz
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On the quantum symmetry of distance-transitive graphs. Advances in Mathematics, Vol. 368, 107150, 15 July 2020
Schmidt, Simon
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Quantum automorphisms of folded cube graphs. Annales de l’Institut Fourier, Vol. 70. no. 3, 949–970, 2020
Schmidt, Simon
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Quantum symmetry vs nonlocal symmetry. 44 pages (2020)
Roberson, David; Schmidt, Simon
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Sinkhorn algorithm for quantum permutation groups. To appear in Experimental Mathematics, 2020.16 pages
Nechita, Ion; Schmidt, Simon; Weber, Moritz
