Das Littelmann-Wegemodell mittels der affinen Grassmanschen

• Antragstellerin: Dr. Jacinta Torres
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 372169579

Ein wichtiges Problem der Kazhdan-Lusztig Theorie ist das Finden einer geschlossenen Formel für Kazhdan-Lusztig Polynome. Diese Polynome tauchen in vielen Bereichen der Mathematik. Bisher sind geschlossene Formeln nur für Spezialfälle bekannt, wie Kostka-Foulkes Polynomen, diese bilden einen Spezialfall von affinen Kazhdan-Lusztig Polynomen. Diese spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der symmetrischen Funktionen, und finden Anwendungen in der Geometrie der affinen Grassmanschen. Die geschlossene Formel für ihre Koeffizienten ist mit Hilfe einer Statistik auf Young Tableaux beschrieben, dem sogenannten "Charge". Diese Tableaux sind klassische kombinatorische Objekte, die eine wichtige Rolle in der Darstellungstheorie des grundlegendsten Beispiel einer algebraischen Gruppe, der speziellen linearen Gruppe, spielen.Während es eine natürliche Verallgemeinerung der Kostka-Foulkes Polynome für alle reduktiven Gruppen gibt, hat ihre (nur im Spezialfall bekannte) geschlossene Formel keine allgemeine Interpretation. Eines der Hauptziele dieses Projektes ist es eine solche Interpretation zu finden. Das Wegemodell von Littelmann ist eine berühmte Verallgemeinerung von Young Tableaux auf alle reduktiven Gruppen. Unser Ziel ist es, analog zu den Young Tableaux, eine Charge Statistik auf der Menge aller Littelmann-Wege zu definieren. Seit kurzem ist eine Interpretation des Wegemodells im Kontext der affinen Grassmannschen mittels Gebäudetheorie bekannt. Diese Interpretation ist allerdings noch nicht vollständig und deren Vervollständigung ein wichtiges Ziel dieses Projektes. Dies würde die bestehenden Verbindungen zwischen Littelmann-Wegen, der affinen Grassmannschen und der Gebäudetheorie weiter ausbauen und einen Zugang zur einer geometrischen Interpretation der Charge-Statistik bieten.Hiermit steht das auch das zweite Hauptziel dieses Projektes in Verbindung. In Zusammenarbeit mit Bea Schumann haben wir eine Vermutung von Naito-Sagaki bewiesen und damit eine Formel für die Zerlegung der Einschränkung von Darstellungen der speziellen linearen Gruppe auf die symplektische lineare Gruppe gefunden. Der Beweis dieser Vermutung, die mehr als zehn Jahre ungelöst blieb, liefert einen neuen Blickwinkel auf Zerlegungsformeln für Einschränkungen auf Unteralgebren, die als Fixpunktmenge von Automorphismen endlichen Grads entstehen. Im Falle von halbeinfachen Automorphismen von unendlichen Grad liefert dieselbe Fragestellung die wohlbekannten Zerlegungsformeln der Einschränkung auf eine Levi-Unteralgebra.Hieraus ergibt sich ein weiteres Ziel des Projekts: die Beschreibung der gebäudetheoretischen Geometrie im Fall der Einschränkung auf eine Levi-Unteralgebra, sowie eine analoge Beschreibung im weit schwierigeren nicht-Levi Fall. Wir sind der festen Überzeugung, dass eine solche Beschreibung nicht nur Zerlegungsformeln, sondern auch Einschränkungsfunktoren im Kontext der geometrischen Satake-Äquivalenz liefern würde.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich(e): Professorin Dr. Petra Nora Schwer