Explizite Höhentheorie für hyperelliptische Jacobische

• Antragsteller: Professor Dr. Jan Steffen Müller; Professor Dr. Michael Stoll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 372107645

Dieses Projekt zielt auf die Verbesserung und Erweiterung von Methoden zur Lösung von Gleichungen der Form y^2 = f(x) in ganzen oder rationalen Zahlen, wobei f ein Polynom ist. Dies ist äquivalent zur Bestimmung der ganzzahligen oder rationalen Punkte auf der durch die Gleichung definierten Kurve. Kurven dieser Art heißen hyperelliptisch. Die meisten dieser Methoden beruhen darauf, dass die Kurve in ihre Jacobische Varietät eingebettet werden kann. Diese ist eine abelsche Varietät, trägt also die Struktur einer Gruppe. Um diese Einbettung ausnutzen zu können, müssen wir genug über die Gruppe der rationalen Punkte auf der Jacobischen wissen. Sie kann durch die Angabe endlich vieler Erzeuger beschrieben werden.Die Theorie der kanonischen Höhen ist ein unentbehrliches Werkzeug in der arithmetischen Theorie abelscher Varietäten. Neben einer Vielzahl theoretischer Anwendungen spielt die kanonische Höhe eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von Erzeugern der Gruppe der rationalen Punkte einer gegebenen abelschen Varietät. Dafür muss man die kanonische Höhe eines Punktes berechnen und alle Punkte mit beschränkter kanonischer Höhe aufzählen können. Die Bestimmung von Erzeugern ist z.B. nötig, um die Richtigkeit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für gegebene Beispiele numerisch überprüfen zu können. Solche Erzeuger sind außerdem besonders interessant, wenn die abelsche Varietät die Jacobische einer hyperelliptischen Kurve ist. Kennt man solche Erzeuger, dann gibt es nämlich effiziente Algorithmen für die Bestimmung der rationalen Punkte auf der Kurve mit beschränkter Höhe, sowie für die Bestimmung aller ganzzahligen Punkte.Bis jetzt ist die explizite Theorie der Höhen auf Jacobischen hyperelliptischer Kurven weitestgehend auf Kurven vom Geschlecht 2 oder 3 beschränkt. Ein Grund für diese Beschränkung besteht darin, dass man zunächst eine explizite Theorie der sogenannten Kummerschen Varietät der Jacobischen benötigt, diese ist zur Zeit aber nur für Geschlecht höchstens 3 verfügbar.In diesem Projekt sollen die für Geschlecht 2 und 3 bekannten Ergebnisse auf höheres Geschlecht ausgeweitet werden, beginnend mit einer expliziten Theorie von Kummerschen Varietäten. Das wird zum Einen explizite Formeln und effiziente Algorithmen für Geschlecht mindestens bis 5 liefern. Wir werden diese Algorithmen implementieren, so dass die gesuchten Erzeuger für hyperelliptische Kurven vom Geschlecht bis 5 effizient bestimmt werden können. Zum Anderen erwarten wir, dass die expliziten Formeln Verallgemeinerungen für beliebiges Geschlecht (und möglicherweise auch für nicht-hyperelliptische Kurven) nahelegen werden. Diese vermuteten Verallgemeinerungen sollen dann bewiesen werden. Zu diesem Zweck sollen die Teile der Theorie für Geschlecht 2 und 3, die bisher auf expliziten Formeln beruhen, abstrakter und konzeptioneller gefasst werden, was außerdem unser allgemeines Verständnis der Theorie von kanonischen Höhen vertiefen wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Niederlande