Turbulentes Verhalten kompressibler Strömungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Turbulente Strömungen treten in zahlreichen Anwendungsbereichen auf, etwa in Ozeanographie, Wettervorhersage, Astrophysik, Medizin, oder Aerodynamik. Trotz ihrer großen Bedeutung ist das theoretische Verständnis von Turbulenz nach wie vor lückenhaft. Dies gilt umso mehr für kompressible Strömungen, die immer noch grundlegende mathematische Fragen aufwerfen. Es wird allgemein angenommen, dass das Verhalten turbulenter Strömungen letztendlich auf die Grundgesetze der klassischen Mechanik zurückgeführt werden kann. Im Rahmen der Kontinuumsmechanik führen diese Gesetze auf nichtlineare Systeme partieller Differentialgleichungen wie die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen, die jeweils in inkompressiblen und kompressiblen Versionen vorliegen. In diesem Projekt haben wir uns auf die Analysis der isentropischen kompressiblen Eulergleichungen konzentriert, deren mathematische Theorie zu weiten Teilen unerforscht ist. Grundsätzliche Fragen sind dabei unter anderem: • Existiert zu gegebenen Anfangsdaten eine eindeutige Lösung, und wenn ja, in welchem Sinne? • Ist die Energie solcher Lösungen erhalten oder wird sie dissipiert? • Wie bekommt man Vakuumzustände mathematisch in den Griff? Das vorliegende Projekt hat zu bemerkenswerten Fortschritten in diversen Aspekten dieser Fragestellungen geführt. Es bestand aus drei Teilen: Energieerhaltung für Vakuum-Lösungen; schwache Unterhalbstetigkeit für eine Klasse von Variationsproblemen in Verbindung mit den Eulergleichungen; und die Konstruktion von Lösungen mittels konvexer Integration. Es verbleibt zwar noch viel zu tun, doch haben die Ergebnisse dieses Projekts bereits zu Anschlussforschung geführt, zum Beispiel über schwach-starke Eindeutigkeit mit Vakuum oder zum Verhältnis zwischen schwachen und maßwertigen Lösungen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Lower semi-sontinuity for A -quasiconvex functionals under convex restrictions, 2021
W. D. Skipper, E. Wiedemann
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1909.11543) - Energy conservation for the compressible Euler and Navier-Stokes equations with vacuum. Anal. PDE 13(3):789–811, 2020
Akramov, T. Debiec, J. W. D. Skipper, E. Wiedemann
(Siehe online unter https://doi.org/10.2140/apde.2020.13.789)
