Turbulentes Verhalten kompressibler Strömungen

• Antragsteller: Professor Dr. Emil Wiedemann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 355710483

Die Strömungsmechanik beschäftigt seit hunderten von Jahren Mathematiker, Physiker und Ingenieure gleichermaßen und gilt sowohl Theoretikern als auch Anwendern als wichtiges, aber auch sehr anspruchsvolles Gebiet. Die Schwierigkeit liegt dabei in erster Linie im Auftreten turbulenter Effekte: turbulente Strömungen verhalten sich hochgradig irregulär und lassen sich nicht zuverlässig anhand des Anfangszustands vorausberechnen. Es treten Mikrostrukturen auf, in denen Wirbel auf immer kleineren Längenskalen erscheinen, bis auf der kleinsten Skala schließlich kinetische Energie dissipiert wird. Die mathematische Formulierung der Strömung von Flüssigkeiten und Gasen erfolgt mithilfe nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, etwa der Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen und zahlreicher davon abgewandelter Systeme. Das mangelnde Verständnis des Phänomens der Turbulenz spiegelt sich in den vielen schwierigen offenen Fragestellungen in Bezug auf diese Gleichungen. Insbesondere gibt es nach wie vor zum Beispiel für die Eulergleichungen keine befriedigende Theorie für Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.In den letzten Jahren hat es für die inkompressiblen Eulergleichungen, die näherungsweise inkompressible Flüssigkeiten wie Wasser beschreiben, signifikante Fortschritte bei der Konstruktion von Lösungen mit "turbulentem" Verhalten gegeben. Die Frage nach turbulenten Lösungen kompressibler Fluide (z.B. Gase wie Luft) ist bisher nicht in gleichem Maße beantwortet worden. In dem beantragten Projekt soll deshalb die Methode der "konvexen Integration", die für inkompressible Fluide bahnbrechende Erfolge gezeitigt hat, auf die kompressiblen Eulergleichungen und verwandte Modelle erweitert werden. In Anbetracht des qualitativ sehr unterschiedlichen Verhaltens kompressibler und inkompressibler Strömungen, aber auch signifikanter technischer Unterschiede zwischen den beiden Gleichungssystemen, ist dies eine anspruchsvolle, aber lohnenswerte Aufgabe. Als Anwendung erwarte ich wichtige Erkenntnisse über Existenz schwacher Lösungen und die Beziehung zwischen verschiedenen Lösungsbegriffen.In einem zweiten Teil des Projekts soll die komplementäre Frage untersucht werden, unter welchen Umständen turbulentes Verhalten wie Nichteindeutigkeit und Energiedissipation ausgeschlossen werden kann. Diese Fragen hängen eng mit der Regularität der untersuchten Lösungen zusammen. Zwei zentrale Prinzipien sollen in diesem Zusammenhang untersucht und verallgemeinert werden: schwach-starke Eindeutigkeit und Energieerhaltung bei ausreichender Regularität. Das beantragte Projekt wird mithilfe anspruchsvoller mathematischer Techniken, die verfeinert, verallgemeinert und teilweise neu entwickelt werden müssen, einen Beitrag zum - bisher nur sehr lückenhaften - Verständnis turbulenter Phänomene in kompressiblen Fluiden leisten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Polen, Tschechische Republik
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Eduard Feireisl; Professor Dr. Piotr Gwiazda; Professorin Dr. Agnieszka Swierczewska-Gwiazda