Spezialisierte adaptive Algorithmen für die Modellprädiktive Regelung von PDEs

• Antragsteller: Professor Dr. Lars Grüne; Professor Dr. Anton Schiela
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 337928467

Die Modellprädiktive Regelung ist eine Kontrollmethode, in der die Lösung eines optimalen Steuerungsproblems auf unendlichem oder unbestimmt langem Zeithorizont aufgeteilt wird in die sukzessive Lösung von Optimalsteuerungsproblemen auf relativ kurzen endlichen Zeithorizonten. Nur das erste Stück jeder optimalen Steuerung wird dann verwendet, um die Kontrollfunktion für den unendlichen Zeithorizont zu konstruieren. Unter geeigneten Bedingungen kann man beweisen, dass dieses Vorgehen approximativ optimale Kontrollfunktionen auf unendlichem Zeithorizont liefert. Darüberhinaus liegt die entstehende Kontrolle wegen der sukzessiven Reoptimierung in Feedbackform vor, wodurch deren Konstruktion robust gegenüber Modellfehlern und Störungen wird.Da nur das erste Stück jeder optimalen Kontrollfunktion verwendet wird, ist zu erwarten, dass zu dessen numerischer Berechnung nur zu Beginn des Optimierungsintervalls mit hoher Genauigkeit gerechnet werden muss, während zum Ende des Intervalls eine niedrigere Genauigkeit ausreicht. Das Hauptziel dieses Antrags ist daher die Entwicklung numerischer Algorithmen für die Modellprädiktive Regelung parabolischer partieller Differentialgleichungen, die diese Tatsache mittels zielorientierter Fehlerschätzung und Adaptivität nutzen. Die von unserem Algorithmus erzeugten Gitter werden die Sensitivität der berechneten Optimallösung auf dem Anfangsstück des Kontrollintervalls bezüglich der Störungen in der Dynamik widerspiegeln. Wir erwarten, dass wir eine relativ feine Diskretisierung zu Beginn des Optimierungsintervalls erhalten, die nach und nach in eine immer gröbere Diskretisierung am Ende des Intervalls übergeht. Selbstverständlich werden dabei die bereits erzeugten Gitter in der nachfolgenden Optimierung auf verschobenem Zeithorizont wiederverwertet. Insgesamt erhalten wir so eine effiziente numerische Methode für die Modellprädiktive Regelung parabolischer PDEs, die mit geringem Rechenaufwand approximativ optimale Kontrollfunktionen auf unendlichem Zeithorizont liefert.Unsere Strategie ist, diese Methode zunächst für gewöhnliche Differentialgleichungen zu entwickeln und dann zu linearen und nichtlinearen parabolischen PDEs überzugehen. Die Entwicklung der Algorithmen wird kombiniert mit theoretischen Untersuchungen der Sensitivität des Anfangsstücks der optimalen Steuerung bezüglich Störungen in der Dynamik. Insbesondere werden wir Bedingungen herleiten, unter denen rigoros bewiesen werden kann, dass diese Sensitivität mit fortschreitender Zeit abnimmt. Dies wird zum tieferen Verständnis der zu entwickelnden Algorithmen beitragen und Klassen von Problemen identifizieren, auf welche diese Algorithmen angewendet werden können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen